《兰州大学--数学物理方法期末考卷及答案b》由会员分享，可在线阅读，更多相关《兰州大学--数学物理方法期末考卷及答案b（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、一、 （本题（本题 1010 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）（1）证明：，其中为标量场，为矢量场。 AAA u ru ru rAu r（2） 已知标量场函数，位置矢量，计算：222, ,x y zx y zrxiyjzkrrrr。, ,x y z rr（1） 证明： iijkjiijkjkkAeAeArrrr（3 分） iijkjkiijkjkeAeA rrAAAA rrrr（2 分） （2）解：222, ,x y z rx y zxiyjzk rrrr322232223 2229x y zx y zx y zx y zxyz（5 分）二、二、 （本题（本题 1010 分，每小题分
2、，每小题 5 5 分分) )将下列复数写成代数形式，其中 为虚数单位，i（1）； （2）ln 13isin2i解：（1） (5 分)ln 13ln 13arg 13223iiiiik（2） (5 分)221sin2sh22iiiiieeii 得分三、三、 （本题（本题 1010 分分) )已知解析函数的实部，且满足，求该解析函数。 f zlnu 12fi f z解：根据科西-黎曼条件可得：，即 11uv 1v （2 分），即 （210uv 0v 分）vvdvddd所以有 vc （2 分）可得 lnf zic根据，可得 12fi2c （2 分）即有 ln22lnf ziiz（2 分）四、四、 （
3、本题（本题 1212 分，第一小题分，第一小题 5 5 分，第二小题分，第二小题 7 7 分分) )（1）将函数在以为中心的邻域内展开为泰勒级数。 （注明收 lnf zz0zi敛半径）（2）将函数以为中心的邻域内做洛朗级数展开。 21 32f zzz02z 解：（1） 0lnk k kf zzazi其中 !kkfiak即有： （1 分） 0ln22af iiik， 1 1afiii 21 2!2fia 33!3fiia 441 4!4fia L， !kkkfiiakk L所以有 （4 分） 1ln22kkkif zzikzik（2） （2 分） 2111 3212122f zzzzzzz（5
4、分） 100112122kkkkkkzzz五、五、 （本题（本题 1010 分分) )计算实变函数积分220cosmxdxIxa解：复变函数有两个单极点，其中在上半平面。 221imzimzF z eezaaiai（2 分）复变函数在单极点的留数为 221imzimzF z eezaai221limlim2imzma imzzaizaieezaiezazaiai（5 分）积分 22220cos 2imz mamxdxeIiexazaa在上半平面所有奇点的留数之和（3 分）六、六、 （本题（本题 1010 分分) )有一长为 的均匀细杆，其侧面与外界无热交换，杆的一端保持零度，另一端有l 恒定热
5、流流入杆内（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为） 。设杆内qq没有热源，且初始温度分布为，试写出热传导方程及其相应的定解条件。22x lxl解： 热传导方程： （4 分）2 2 2,0u x tu x tatx定解条件：边界条件： 0,0, x x lu x tqu x txk 其中 为热传导系数。 （4 分）k初条件： （220,2tx lxu x tl分）七、七、 （本题（本题 1010 分分) )将定解问题22 2 2200 00 , 0, 0, , ,0, 0xx lt tuuaxl ttx u x tAu x tBABu x tu x txlt 和为常数的边界条件齐次化，设，并假
6、设满足齐次边界条,u x tV x tW x t,V x t件，请写出关于的相应的定解问题。,V x t（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）解：设，并令,u x tV x tW x t0,0, ,0,xx lV x tV x t则有0, ,xx lW x tAW x tB设，可得，,( )( )W x tc t xd t( )d tA( )BAc tl所以有 ,BAW x txAl（5 分）把带入原有的定解方程中可得关于的定解问题为,BAW x txAl,V x t22 2 2200 0,0 , 0, 0 ,0, ,0, , 0 0 xx lt tV x tV x taxl ttx
7、V x tV x tV x tABV x txAxllt （5 分）八、八、 （本题（本题 1313 分分) )求解定解问题22 2 2200 00 0, 0,0, 0,sin, sinxx lt tuuaxl ttx u x tu x ttu x tu x txxltl 解：设，并代入泛定方程中，可得 ,u x tX x T t 2XxTt X xa T t上式左右两边要相等只能等于同一常数，即为则有， 0X xXx 20Tta T t（3 分）由边条件可得0,0xx lu x tu x t 00xx lX xX x所以有 00 0xx lX xXx X xX x解得，本征值，本征函数，其中
8、 222nn lsinnnnXAl1, 2, 3, n L（2 分）则方程变为 20Tta T t 22220naTtT tl解得， cossinnnnn an aTtCtDtll（2 分）令，nnnaA CnnnbA D所以,cossinsinnnnn an anux tatbtxlll由于方程是线性的，可得 （1 分）11,cossinsinnnn nnn an anu x tux tatbtxlll由初条件，可得0,sintu x txl1sinsinn nnaxxll解得 （2 分）,1nna由初条件，可得0,sintu x txtl1sinsinn nn anbxxlll解得 （2
9、分）,1nnlbn a所以,1,1 1,cossinsinnn nn aln anu x tttxln allcossinsinsinalatxtxllall 九、九、 （本题（本题 1515 分分) )在点电荷的电场中放置均匀的介质球，球的半径为，介质球的介电04qR常数为，球心与点电荷相距（） ，求放置介质球后，介质球内外的电ddR 势分布。解：取球心为球坐标系的极点，极轴通过点电荷，则极轴是对称轴点电荷在空间 点产生的电势为 rr222cosqqu drdr （1 分）其中：rrr当时，电势满足 rRu内20u内由于是轴对称问题，则有 1 01cosl llll luArBPr 内（3 分）当时，电势有限，则有，0r u内0lB 可得 0cosl ll luAr P内（2 分）当时，球外电势并不是处处满足 Laplace 方程，则可看成两部rRu外u外分组成：表示球面上极化电荷产生的电势以及点电荷在空间产生的电势,V r，qu即有，并且在区域内满足。 ,quV ru外rR2,0V r在轴对称下，方程的解可写为：1 01,cosl llll lV rC rDPr （2 分）由，可得 ,0rV r0lC 所以有 1 0,cosl ll lDV rPr （
