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1、行列式计算方法论文行列式的历史背景行列式出现于线性方程组的求经计算, 它最早是一种速记的表达式, 现在已经是数学中一种非常有用的工具. 行列式是因为莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的. 1693 年 4 月, 莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式, 并给出方程组的系数行列式为零的条件. 同时代的日本数学家关孝和1683 年在其著作经计算伏题元法 中也提出 了 行 列 式 的 概 念 与 算 法 . 1750 年 , 瑞 士 数 学 家 克 莱 姆(G.Cramer,1704-1752) 在其著作线性代数分析导引 中, 对行列式的定义和展开法则给出了比较完整, 明确的阐述 , 并给出了
2、现在我们所称的经计算线性方程组的克莱姆法则稍后, 数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化 , 利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零经计算. 总之, 在很长一段时间内 , 行列式只是作为经计算线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外, 单独形成一门理论加以研究. 在行列式的发展史上, 第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述, 也就是把行 列 式 理 论 与 线 性 方 程 组 求 经 计 算 相 分 离 的 人 , 是 法 国 数 学 家 范 德 蒙(A-T.Vandermonde,1735-1
3、796) . 范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐, 但对数学有浓厚的兴趣 , 后来终于成为法兰西科学院院士 . 特别地 , 他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则. 就对行列式本身这一点来说, 他是这门理论的奠基人 . 1772 年, 拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则, 推广了他的展开行列式的方法继范德蒙之后, 在行列式的理论方面, 又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西. 1815 年, 柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的 , 几乎是近代的处理 . 其中主要结果之一是行列式的乘法定理. 另外, 他第一个把行列式的元素排成方阵, 采用双足标记法 ; 引进
4、了行列式特征方程的术语; 给出了相似行列式概念; 改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等. 19 世纪的半个多世纪中, 对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士. 西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894) .他是一个活泼 , 敏感, 兴奋, 热情, 甚至容易激动的人 , 然而因为是犹太人的缘故, 他受到剑桥大学的不平等对待. 西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想, 他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去 x 的方法 , 他称之为配析法 , 并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果, 但没有给出证明 . 继 柯 西 之
5、 后 , 在 行 列 式 理 论 方 面 最 多 产 的 人 就 是 德 国 数 学 家 雅 可 比(J.Jacobi,1804-1851) ,他引进了函数行列式, 也就是 “雅可比行列式 “, 指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用, 给出了函数行列式的导数公式. 雅可比的著名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成. 因为行列式在数学分析, 几何学 , 线性方程组理论 , 二次型理论等多方面的应用,促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展 . 整个 19 世纪都有行列式的新结果 . 除了一般行列式的大量定理之外, 还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。计算 n
6、阶行列式的若干方法举例1 利用行列式的性质计算例：一个 n 阶行列式nijDa的元素满足, ,1,2, ,ijjiaai jn则称 Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：因为ijjiaa 知iiiiaa ，也就是0,1,2,iiain故行列式Dn可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa，因为行列式的性质AA ，1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa122323122323122323 112232321112,2,11111111111111111nnnnnnnnnin inn
7、nni iiiininaaaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa3110100111 .00100001nnnii iiaaa12131122321323312300( 1)00nnn nnnnaaaaaaaaaaaa( 1)n nD当 n 为奇数时，得 Dn =Dn，因而得 Dn = 0. 2化为三角形行列式例2 计算 n 阶行列式1231231231231111nnnnaaaaaaaaDaaaaaaaa经计算这个行列式每一列的元素， 除了主对角线上的外， 都是相同的， 且各列的结构相似，因此n 列之和全同将第 2，3，, ， n 列都加到第一列上，就
8、可以提出公因子且使第一列的元素全是1例 3 计算 n阶行列式abbbbabbDbbabbbba经计算：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第 2，3，, ， n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba11(1) 11bbbabbanbbabbba1000(1) 000000bbbabanbabab1(1) ()nanb ab例 4：浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2 小题（重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1 小题）的经计算答中需要计算如下行列式
9、的值：12312341345121221nnnnDnnn 分析 显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。 注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有n-1 个数是差 1 的，根据行列式的性质，先从第n-1 列开始乘以 1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以 1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以 1 加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。经计算：11(2, )(2, )1111111111121111100031111200011111000100000010000020011(1) 200020000001
10、001(1)()2iinninrrinrr nnnDnnnnnnnnnnnn n nnnnnnnn nnn(1)(2) 12(1) 12( 1)(1)12nnn n nnn4降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理， 这样可以降低多阶， 为了使运算更加简便， 往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例 1、计算 20 阶行列式20123181920212171819321161718201918321D 分析 这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行 （列）展开法逐次降阶直至化许许多
11、多个2 阶行列式计算，需进行20！*201 次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的， 更何况是 n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：经计算：112020 118(1,(2, 20)19)1111111231819202111112121718193111113211617181911111201918321201111111111130222240022221(1)22120000022100000iiiiiccrrD182例 2 计算 n阶行列式00010000000000001000
12、naaaDaa经计算将Dn按第1行展开1000000000000(1)0000000001000n naaaaDaaaa12( 1)( 1)nnnnaa2nnaa. 例3 计算 n（n2）阶行列式0001000000001000aaDaa经计算按第一行展开，得100000000000010000001000naaaaDaaa再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则所以到1112222111nnnnnnnDaaaaaa5递（逆）推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起 Dn与Dn+1的递推关系式， 逐步推下去，从而求出Dn的值。 有时也可以找到 Dn与Dn+1的递推关系，最后利用Dn求
13、出Dn和 Dn+1的值。注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，也就是很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。例 1 计算行列式10000000010001000nD. 经计算：将行列式按第n 列展开 , 有21)(nnnDDD, 112112(),(),nnnnnnnnDDDDDDDD得nn nnnnDDDDDD)()(122 322 1。同理得n nnDD1, .,;,)1(11nnnnnD例 2 计算ayyyxayyxxayxxxaDn经计算1 11)()(1010010001)(000n nnnxayDyaxaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxay
14、xxxyayyxayxxaxxxyaD同理1 1)()(n nnyaxDxaD联立经计算得)( ,)(yxyxxayyaxDnnn）当yx时, 121 12211 2()()()2 ()()(2) ()()(1)nn nnnnnnDax Dx axaxDx axaxDnx axaxanx例 3 计算 n 阶行列式12211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax经计算首先建立递推关系式按第一列展开，得：1111112321100010000010010000000111010000010001nnnnnnnnnnnxxxxDxaxDaxDaxxxaaaaax这里1nD与nD
15、 有相同的结构，但阶数是1n的行列式现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得：22122 21213211221nn nnnnnnnnnnnnnnDx xDaax Da x ax xDaa x ax Da xaxa x a ，因111Dxaxa ，故1 11nn nnnDxa xaxa 最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当1n时，显然成立设对1n阶的情形结果正确，往证对n 阶的情形也正确因为121 112111nnnn nnnnnnnnDxDax xa xaxaaxa xaxa ，可知，对 n 阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立例4 证明 n
16、 阶行列式2100001210001000121000012nDn证明按第一列展开，得2100001000001210001210002000121000121000012000012nD其中，等号右边的第一个行列式是与nD 有相同结构但阶数为1n的行列式，记作1nD；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与nD 有相同结构但阶数为2n的行列式，记作2nD这样，就有递推关系式：122nnnDDD因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当1n时，12D，结论正确当2n时，221312D，结论正确设对1kn的情形结论正确，往证kn时结论也正确因为122211nnnDDDnnn可知， 对 n 阶行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立例 5、2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10 小题要证如下行列式等式：000100010
