《[数学]不定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[数学]不定积分（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章微分法:)?()(= xF积分法:)()?(xf=互逆运算不定积分二、 基本积分表三、不定积分的性质一、 原函数与不定积分的概念二、 基本积分表三、不定积分的性质一、 原函数与不定积分的概念第一节机动目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质第四四章一、 原函数与不定积分的概念一、 原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为 m 的质点,的作tAFsin=下沿直线运动 ,).(tv因此问题转化为: 已知,sin)(tmAtv=求?)(=tv在变力试求质点的运动速度机动目录上页下页返回结束根据牛顿第二定律, 加速度mFta=)(tmAsin=定义定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数
2、F (x) 及f (x)满足)()(xfxF=,d)()(dxxfxF=或在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 如引例中, tmAsin的原函数有,cos tmA?, 3cos +tmA问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ?定理定理1.,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数 .(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理 2. 的所有则)(xf原函数都在函数族CxF+)( C
3、 为任意常数 ) 内 .证证: 1) 的原函数是)()(xfCxF+)(+CxF)(xF=)(xf=，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx =又知)()(xfxF= )()(xFx)()(xFx=0)()(=xfxf故0)()(CxFx+=)(0为某个常数C即0)()(CxFx+=属于函数族.)(CxF+机动目录上页下页返回结束即定义定义 2. )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;(P183)若, )()(xfxF=则CxFxxf+=)(
4、d )( C 为任意常数 )C 称为积分常数积分常数 不可丢不可丢 !例如,=xexdCex+=xxd2Cx +3 31=xxdsinCx+cos记作机动目录上页下页返回结束不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族. yxo0x机动目录上页下页返回结束的积分曲线积分曲线 . 例例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解解: xy2=xxyd2=Cx +=2所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有C+=212 1= C因此所求曲线为12+=
5、 xy机动目录上页下页返回结束yxo)2, 1 (ox例例2. 质点在距地面0x处以初速0v 力, 求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,)0(0xx =)(txx =质点抛出时刻为,0=t此时质点位置为初速为,0x设时刻 t 质点所在位置为, )(txx =则)(ddtvtx=(运动速度)tv tx dd dd 22 =g=(加速度).0v机动目录上页下页返回结束垂直上抛 , 不计阻先由此求)(tv再由此求)(tx先求. )(tv,ddg=tv由知ttvd)()(g=1Ct+=g,)0(0vv=由,01vC=得0)(vttv+=g再求. )(txtvt
6、txd )()(0+=g202 21Ctvt+=g,)0(0xx=由,02xC=得于是所求运动规律为002 21)(xtvttx+=g由)(ddtvtx=,0vt+g知机动目录上页下页返回结束故ox)0(0xx =)(txx =xdd) 1 (xxfd )()(xf=二、 基本积分表二、 基本积分表(P186)从不定积分定义可知:dxxfd )(xxfd)(=或Cx+=d)2()(xF)(xF或C+=d)(xF)(xF利用逆向思维利用逆向思维=xkd) 1 ( k 为常数)Cxk+=xxd)2(Cx+ +1 11 =xxd)3(Cx +ln时0 ).0(d22a xax= 21duu想到Cu+
7、arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元)=xxxfd )()(=2)(1)(daxaxCax+= arcsin= 22dxax机动目录上页下页返回结束例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossin=xx coscosdCx+=cosln?dcot=xxxxx sindcosCx+=sinln=xx sinsind=xxdtan机动目录上页下页返回结束类似Caxax a+=ln21例例5. 求.d 22axx解解:221 ax)(axax+)()(axax+ a21=)11(21 axaxa+= 原式 原式 = a21+axx axxdd =a21 axax)(d
8、a21=axlnax+lnC+axax)( d机动目录上页下页返回结束常用的几种配元形式常用的几种配元形式: =+xbxafd)() 1 (+ )(bxaf)(dbxa+a1=xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1=xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法=xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsind=xxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd机动目录上页下页返回结束=xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtand=xeefxxd)()7()(xefxed=xxxfd1)(ln)8()(lnxfxlnd例例6. 求.)ln2
9、1 (d+xxx+xln21xlnd解解: 原式 =+=xln2121)ln21 (dx+Cx+=ln21ln21机动目录上页下页返回结束例例7. 求.d3 xxex 解解: 原式 =xexd23)3d(323xex=Cex+=3 32例例8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tan+xtandxxxtand) 1tan2(tan24+=x5tan51=x3tan32+xtan+C+机动目录上页下页返回结束例例9. 求.1d+xex解法解法1 +xex 1dxeee xxx d1)1 (+=xd=+xxee 1)1 (dx=Cex+)1ln(解法解法2 +xex
10、1dxee xx d1+=+=xxee 1)1 (dCex+=)1ln()1(ln)1ln(+=+xxxeee两法结果一样机动目录上页下页返回结束 + xxsin11 sin11 21例例10. 求.dsecxx解法解法1 xxdsec=xxxdcoscos 2=xx 2sin1sindxsind=xsin1ln21+=Cx+sin1lnCxx+=sin1sin1ln21机动目录上页下页返回结束+=xxtansec解法解法 2 xxdsec=xxdsec xxtansec+)tan(secxx+xxxxxxdtansectansecsec2+=)tan(secdxx+Cxx+=tansecln
11、 同样可证 xxdcscCxx+=cotcscln或xxdcscCx+=2tanln(P196 例16 )机动目录上页下页返回结束2 22d )(2123x ax+=例例11. 求.d )(23223 +x axx解解: 原式 = +23)(22ax22dxx 21222)(aax+=21)(2122ax)(d22ax +23)(2222 axa)(d22ax +22ax +=222axa+C+机动目录上页下页返回结束)2cos2cos21 (2 41xx+=例例12 . 求.dcos4xx解解:224)(coscosxx =2)22cos1(x+=)2cos21 (24cos1 41xx+=
12、)4cos2cos2(21 23 41xx+=xxdcos4xxxd)4cos2cos2(21 23 41+41=xd23)2d(2cosxx+)4(d4cos81xx+x83=x2sin41+x4sin321+C+机动目录上页下页返回结束例例13. 求.d3cossin22xxx解解:=xx3cossin222 21)2sin4(sinxxxxxx2sin2sin4sin24sin2 41 412 41+=)8cos1 (81x=xx2cos2sin2)4cos1 (81x+原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin2 21xx)4d(4cos321xxx41=x8si
13、n641x2sin3 61x4sin321C+机动目录上页下页返回结束xxexex+=111xexexxxdd +=+xexxd) 1(例例14. 求.d )1 (1+xexxx x解解: 原式=+xexxx xd)1 () 1(xe xe)1 (1 xxxexe+)(d)111(x xxexexex+=)1 (1 xxxxxexexexe +=)(dxxe=xexln=xex+1lnC+Cexxxx+=1lnln机动目录上页下页返回结束分析分析:例例15. 求.d)()()( )()( 32 xxfxfxf xfxf 解解: 原式原式=)()( xfxfxxfxfxf xfxfd)()()(
14、1)()( 2 =xxfxfxfxfd)()()()( 22 Cxfxf+ =2)()( 21)()(d(xfxf 机动目录上页下页返回结束=)()( xfxf小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1+=; )2cos1 (sin212xx=; )2cos1 (cos212xx+=万能凑幂法=xxxfnnd)(1nn nxxfd)(1=xxxfnd1)(n xn nxxfnd)(11机动目录上页下页返回结束利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如思考与练习思考与练习1. 下列各题
15、求积方法有何不同?+ xx 4d) 1 (+24d)2(xxxxxd4)3(2+xxxd4)4(22 +24d)5(xx24d)6( xxx+=xx 4)4(d+=2 22 21 )(1)d(xx+=2221 4)4(d xxxxd4412+=41 xx+21 21xd=2)2(4x)2(dx机动目录上页下页返回结束+=xxxd) 1(1 102. 求.) 1(d 10+xxx提示提示:法法1法法2法法3+ ) 1(d 10xxx10)x+ ) 1(d 10xxx+=) 1(1010xx+ ) 1(d 10xxx+=)1 (d 1011xxx+=101x10d x 101+10(x10dx 101作业目录上页下页返回结束二、第二类换元法二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(=uufd )()(xu=若所求
