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1、第八讲 定积分1 重要内容 一性质1 baf x dxba fab2设在上连续，且，但不恒等于 0，则。 f x, a b 0f x 0baf x dx 3 xaxa ff x dt二 圆心为(0,0),半径为的圆在第一象限的面积22204baax dx aaa如：， 圆心为(1,0),半径为 1 的圆在第一象限的左半个面积。12024xx dx， 圆心为(1,0),半径为 1 的圆在第一象限的右半个面积。22124xx dx2 题型与例题分析题型一：利用定积分的定义与性质解题：题型一：利用定积分的定义与性质解题：例 1：已知在上可导。且满足， f x0,2 208,fxf x dx 00f求
2、及。 20f x dx f x解： 令 20Af x dx 008880ffx Afxf xxCCAA ，20881624AxdxAAAA 即 204,2f x dxf xx 注意注意：注意下列形式中常数均可如此构造：注意下列形式中常数均可如此构造1 baf xg xh xf x dx令令； baf x dxA f xg xAh x bbaaAg x dxh x dx baf xg xh xx f x dx2 bdacx f x dxf xg xhfxx dxx令令； bax f xAdx dcf x dxB f xg xAh xBx； baAxg xAh xBxdx dcBg xAh xBx
3、dx3 0 1lim xxx f xf xg xh xxx f 令令； 0 1lim xxx f xxAfB f xg xAh xBx； 0lim xxAxg xAh xBx 1|x xBg xAh xBx4,lim, xDf x yf x yxsyydh x （三重积分，曲线，曲面积分均可）（三重积分，曲线，曲面积分均可）令令；,Df x yAds,f x yx yAh x y；,DAx yAh x yds例 2：设是上以为周期的连续函数，则下列函数以为周期的是 ： f x, TT（A） （B） 0xf t dt 0xf t dt （C） （D） 00xxf t dtf t dt 00xxf
4、 t dtf t dt 分析分析：关键在于观察：关键在于观察是否为是否为 0。 F xTF x（A） 000x Txx TTxf t dtf t dtf t dtf t dt（B） 000xTx Txx Tf t dtf t dtf t dtf t dt （C） 0000x Txx Txf t dtf t dtf t dtf t dt 故选 C 000x TxTTxx Tf t dtf t dtf t dtf t dt （D） 0000x Txx Txf t dtf t dtf t dtf t dt 0002x TxTTTxx Tf t dtf t dtf t dtf t dtf t dt 解
5、： 2 2lnsinlnsincotcotlnsincotsinxIdxxdxxxxdxx 2cotlnsincsc1cotlnsincotxxxdxxxxxc 例 3：设是内连续。 f x, 02xF xtx f xt dt如果是的奇函数，则是 ： f xZ F x（A），偶函数 （B），奇函数ZZ（C），偶函数 （D），奇函数分析分析：令：令，xtu 则： 000222xxxF xxux f uduxf u duuf u du其中，均为奇函数。 00,xxxf u duuf u du 002xxFxf u duxf xxf xf u duxf x 00Fxxfxf xx 0000xxxFx
6、f u duf x duf uf x du 00xFxf x duxf x。故选 D。 F x 题型二：有关变限积分的问题：题型二：有关变限积分的问题：例 4：设是上连续。 。求。 f x0,1 0xf x dxA 110xdxf x fy dy解： 110xIf xfy dy dx令： 1xF xfy dyFxf x 1121 0001|2IF x Fx dxF x dF xFx 2 2211022AFF 例 5：设 。求。 4a xya yaf xedy 0af x dx解：， 交换次序可得。40aa xya yaIdxedyQ 22234xaxax aa x afxee 2223000|
7、aaxaxaaf x dxxa f xxa edx。2222222323223 0011123|1222axaxaxaxaaaaed xaxaeee注意注意：若：若，； 0f a 0|bab aaf x dxxb f xxb fx dx若若， 0f b 0|bab aaf x dxxa f xxa fx dx例 6：设 且满足。求。 1ln 1xtf xdtt0x 101f xfg xt dtx g x解：令 ，则xtu 11100011g xt dtg udug u duxx， 01xg u dux f xfx， 1111lnln 11xxttf xfdtdtxtt令，则有：1tu 22 1
8、11111ln11lnln|ln1122xxxtf xftdtdttxxtttt 22011lnlnln22xg u duxxg xxx题型三：计算定积分题型三：计算定积分 一一换元法换元法令令，xabt bababaIf x dxf abtdtf abx dx 1 2bbaaIf x dxf xf abxdx例 7： aaIf x dx 解：令，则xt 01 2aaaIf xfxdxf xfxdx 如：。222111210011 111113xxxxxxxxxeIdxdxxdxeeeee例 8：2 0sin ,cosIfxx dx 解：令，则2xt2 01sin ,coscos ,sin2I
9、fxxfxxdx 如：333 22 00sin1sincos sincos2sincossincosxxxIdxdxxxxxxx2 011111 sin cos22224xx dx例 8： 0sinIxfx dx解：令 ，则：xt 0011sinsinsin22Ixfxx fxdxfx dx例 9：4 0ln 1tanIx dx 解：令 ，则：4xt4 01ln 1tanln 1tan24Ixxdx4 011tanln 1tanln 121tanxxdxx4 012ln 1tanln2tan1xdxx4 01ln2ln228dx二二先划积分区间，再换元先划积分区间，再换元 22a bbba b
10、aaIf x dxf x dxf x dxQ 222a bx a b tbaa ba baf x dxf abtdtf abx dx 2a bbaaIf x dxf xf abxdx 例 10：设在内满足， f x, f xf xx且，求。 0f x dxA 3If x dx解： 23122If x dxf x dxII 2100xt If x dxf tdtf ttdt 22213 22AA 32222xt If x dxf tdtf ttdt 222233422AA2 121122IIIA例 11：设在上连续。且曲线关于直线对称， f x, a b f x2abx证明： 22a bbaaf x dxf x dx 证明：要证：， 2222a ba bba baaf x dxf x dxf x dx即证： 22a bba baf x dxf x dx令：，则xabt 22a bba baf x dxf abx dx若， f xfy22ababyx有yabx f abxf x有。得证。
