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1、 “勾股定理的逆定理（第一课时）勾股定理的逆定理（第一课时） ”教学再设计教学再设计武汉市第一初级中学 马 奇在新教材的使用过程中，我们有时会觉得存在不尽人意的地方，教材中内容的安排可 能不太符合学生的学情.这就要求我们既要立足于教材，完成课程标准中的教学目标，又要 能够创造性的使用教材，利用教材中的资源元素，重新加以编排整合，在教学设计时，教 师应充分研究教学内容，关注学生在学习过程中反映出来思维过程以及课堂学习中的生成 目标.下面我对人教版“勾股定理的逆定理（第一课时） ”的内容结合自己的教学作些介绍， 以起到抛砖引玉的作用.一、教材分析一、教材分析“勾股定理的逆定理”这一章节的教学内容在
2、几何教学中有相当重要的地位，其第一课 时的内容包括学习勾股定理的逆定理及其证明，并要求学生会运用该定理.本课时的定理既 是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要的方法.本课 时的教学还向学生渗透了“数形结合”的数学思想方法，也为后续学习三角函数的概念和 相关的定理如正弦定理、余弦定理作铺垫. 在人教版的教材中，还穿插两个概念：逆命题、逆定理，我们在教学设计中应该从原 定理出发，通过师生的活动，调换命题的条件和结论，引出本课的课题.在得到逆命题后， 教师应根据学生的学情设计一系列活动，让学生进行观察、思考、推测、验证等一系列探 究活动，进而突破勾股定理的逆定理的证明这
3、一教学难点，然后建立勾股定理的逆定理与 原定理的互逆关系.二、学情与学法探讨二、学情与学法探讨 (1) 学情分析本节课的前提是学生学习了命题的概念、勾股定理、三角形全等的判定等相关知识.一 般来说，学生能够静态的辨别某一命题中的题设和条件部分，但根据以往的教学经验，学 生对勾股定理的原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题之间的关系容易混淆，导致 运用上的混乱（虽然这不是教材的要求，但却是我们教学中无法回避的问题）.例如：学生 在运用逆定理进行判定的时候，其道出的依据却是勾股定理.在设计教学时，我们既要注意 概念的区别，又注意不要偏移本课的重点.四个命题之间的关系是教师在教学设计时需要把 握的
4、一条主线，否则学生在学习逆定理的时候会出现听时懂、用则错的现象. 下面我们来看看学生在学习中易出现的问题 在学习逆定理的证明时，学生往往会对课本上的证明方法感到困惑，这种证明方法在以 前是接触过的,而且通过这个证明又得到另一种证明直角的方法，逻辑上层层上升，学生学 习起来有一定难度，在后面我们将这个问题作为重点解决的一个问题. 定理与逆定理的使用上的错误.比如判定三边长分别为 3，4，5 的三角形为直角三角形时， 学生要么错误地使用勾股定理来判断，要么使用的是与逆定理等价的逆否命题：若C90o，那么.而第二种方式虽然没有数学上的推理错误，但在目前的学生222abc知识层次上，反映出对命题的题设
5、及结论部分的误读，必须及时纠正.在教学设计上教师应注意到学生的思维中已经有了勾股定理逆定理的证明方法的雏形，通过适当引导，即可突 破难点. 勾股数与直角三角形三边长的混淆,没有注意到组成勾股数的前提条件是正整数. 逆定理中的题设实际上是存在性的条件，而不是并列条件，所以在判断的时候引导学生 可先判断最大边，否则，最多要尝试三次再作判断.(2)学法建议通过以上分析，可以看出，学习本课关键是理清思路，在正确认识命题的结构的同时， 进行逆命题的构造和证明，从而达到突破难点的目的.三、教法探讨教法是建立在教材内容和学情分析的基础上的.本节课的教法可设计成前段讨论交流的 形式，以师生问答为主，教师的设问
6、上应精心设置，目的是能够让学生在认识上产生冲突 矛盾，通过师生的交流讨论，使学生逐步排除自己的错误认识，把握命题结构，研究逆命 题.这应设计成一个由愤到悱的过程,以期达到较好的教学效果；中段教师引导学生合作探究， 重点学习逆命题的证明，引导学生新构直角三角形，通过全等来证明直角；末段通过思考 题来巩固，重点是逆定理的运用.四、教学设计前段：前段：本课从预备知识入手，首先复习： 1、勾股定理的内容； 2、该定理的作用（已知直角三角形中任意两条边长，可确定第三条边长 ,即： ，等.)22cab22acb然后进入到本课的重要阶段，即：力图暴露学生认识上的冲突和矛盾. 3、在 RtABC 中, C=9
7、0o , AC=5 , BC=12, 怎样求 AB 的长?4、另有两个三角形，其中ABC的三边长分别是 5、12、13，DEF 的三边长分别为 5，12，14.请问这两个三角形都是直角三角形吗？为什么？问题 3 是对问题 1、2 的强化，学生首先能够熟练运用勾股定理求出 AB13， 但 问题 4 就会让学生感到困惑，这也正是教学的目的，即：明显可以判定AB C为直角 三角形，但似乎缺乏理由支持，或者有的学生运用勾股定理错 误地说明：因为 Rt ABC中，有 52122132，所以ABC为 Rt；DEF 可以肯定不是直角三角形，但 怎么说明呢？这恰恰是要学生在思维的冲撞中认识到：我们需要一个方法
8、来判定已知三 边长的三角形是不是直角三角形.有必要指出，引导学生用全等来说明问题 3 之后，学的 生思维实际上已经大致能够想到构造法证明逆命题.然后：师生共同归纳：（从具体到抽象） 一个三角形的三边满足什么条件才能判定它为直角三角形呢？由此可得到:命题：命题：如果三角形的三边长边长 a、b、c 满足，那么这个三角形是直角三角222abc形. （强调我们的需要：即题设部分用三边，而结论部分是判定三角形是否为直角三角 形，得到命题后对比勾股定理的原命题简介逆命题的概念.）中段：中段： (1)证明命题，并总结出逆定理. 如图，若ABC 的三条边长 AB= c, BC= a, CA= b,并且，求证:
9、C=90o.222abc（教师结合前面的问题 3 进行点拨.）(2)师生总结：逆命题通过证明后说明是一个真命 题，这个真命题就是原定理的逆定理.(3)教师指出：我们运用三角形全等和勾股定理的知识证明了勾股定理的逆命题也是正确的， 它也是一个定理，我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.这个定理可以从三角形三边的数 量关系来判断一个三角形是否为直角三角形.(4)教材上首先给出了古埃及人以及我国古代大禹治水时用到的画直角的方法，对学生进行 数学历史文化的教育，但为了达到前面提到的教学目的，将其穿插在此，既是立足于教材， 又不拘泥于教材，也是“为我所用”的教学思想的体现.(5)运用定理，并介绍勾股数的概
10、念.问题：你来试试：判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a4， b，c；521（2）a6.5，b6，c2.5;（3）a13，b14，c15；（4）a15，b8，c17.归纳归纳：判断两条较小较小边长的平方和平方和是否等最大最大边长的平方平方. （强调：若相等必为 Rt，否则必不是 Rt）勾股数勾股数:像（4）中能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数. 你 知道几组勾股数? (教师引导学生找出几组常见的勾股数）末段：末段：本段为探究升级，设计了两个问题，一个是关于勾股数的不完全通项表达式的证明，目 的是让学生增强对逆定理的运用，再则是了解数学历史以及勾股数的表
11、达形式；另一个就 是通过运用逆定理寻找直角三角形的个数，来培养学生在复杂的环境中的问题分解能力和 解决问题的能力. 问题 1：古希腊哲学家柏拉图认为，如果 n 表示大于 1 的整数， a=，b=, c=，那么 a，b，c 为勾股数.你认为对吗？为什21n 2n21n 么？问题 2： 在大小为 33 的正方形网格中,三个顶点都在单 位小正方ABCabcABCab形的顶点上的直角三角形共有多少种?(全等的三角形只算一个)最后，教师再利用小结的机会，引导学生回顾本节课的学习线索，即：需要一个判定 已知三边长的三角形是不是直角三角形的方法，这就是勾股定理的逆命题，而我们通过构 造三角形全等来证明了这个命题，由此得到了勾股定理的逆定理.结束语：结束语：以上是我对教材中本课时教学内容的一个再设计思路，这个设计力图表明：数学 教学对教师而言决不是照本宣科，也不是随心所欲讲到哪里算哪的自由发挥，教学一 定要精心设计.本文还想说明，上好一节课，教学经验是非常宝贵的，它至少提醒我们 本课的教学中学生经常出现的状况，让我们多加注意.只有善待我们的学生，尊重数学 教学规律，不断追求，不断改进才会有所得.本节课的教学设计在实践中得到了检验， 达到了较好的教学效果，尤其在逆定理的证明这一难点上，由于问题（4）的处理很 顺畅，学生很快将解答的思想移植到逆命题的证明上，说明达到了预期的目标.
