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1、第一章第一章 绪论绪论1 求求一曲线所满足的微分方程微分方程，过该曲线上任何一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于常数。2a 解解 设所求曲线为，过曲线上任一点的切线方程为)(xyy ),(yxP，)(xXdxdyyY与两坐标轴的截距分别为，由三角形的面积公式可得dxdyxyadydxyxa21,，2)(21adxdyxydydxyx整理可得，这就是所求曲线满足的微分方程。22)(ayyxyxy2 求求一曲线所满足的微分方程微分方程，使该曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为零。解解 设曲线为，过其上点切线斜率为，向径的斜率为，由于二)(xfy ),(yxdxdy xy者的夹角为零，所以，
2、即所求曲线满足的微分方程为 。 xy dxdy0yyx3 求一曲线族求一曲线族，使它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两部分。 解法解法 1 设所求曲线方程为，过曲线上任一点的切线交轴于点，)(xyy ),(yxPoxA交轴于点，由题意，为的中点，不妨设，则切线斜率为oyBPAB)2 , 0(),0 ,2(yBxA，xy xyK2002另一方面，曲线在点的切线的斜率为，得，变量分离，得到，Pdxdy xy dxdyxdx ydy两边积分得 ，因此，方程的通解为，即所求的曲线族为：1lnlnCxyCxy 。)0(CCxy解法解法 2 设所求的曲线为，过曲线上任一点的切线方程)(xyy ),
3、(yx，yxXyY)(它与轴的交点分别为，由题可得，yx,), 0(),0 ,(yyxxyyyyxyxyyx22故这条曲线满足方程，由可得方程的解为。 yxyyyxxy dxdy)0(CCxy4 求一曲线方程求一曲线方程，使曲线上任一点平分过该点的法线在两坐标轴之间的线段。 解解 设所求的曲线为，过曲线上任一点的法线方程为)(xyy ),(yx，yxXyY)(1它与轴的交点分别为，由题可得，yx,), 0(),0 ,(yyxxyy yyxyxyyx22故这条曲线满足 ，即，解之得，这就是所求曲线方 yxyyyxyx dxdyCxy22程。 评评注：注：根据题目的具体已知条件和基本的数学公式及定理建立等式关系，注意切线与法线的特点及其关系，从而列出微分方程，经常会用到曲线在一点的斜率表达)(xfy ),(yx式、过该点的切线的横截距和纵截距及过该点的法线的横截距dxdy yyxyxy和纵截距等表达式。xyyyyx
