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1、1古塔的变形古塔的变形摘要摘要本文对古塔的各层中心坐标，倾斜、弯曲、变形问题，采用数据插值、最小二乘法、回归分析法及 Excel 软件与 Matlab 软件，进行求解，具体步骤如下：1 1第第 1313 层中第层中第 5 5 个观测点空白数据处理个观测点空白数据处理对 1986 年和 1996 年，第 13 层中第 5 个观测点进行了估计，采用数据插值方法中的 3 次样条插值，算出 1986 年数据分别为( ,)iiix y z566.308，519.7624， 52.7686 及 1996 年数据( ,)iiix y z568.0575，519.7562，52.7657 。2 2模型建立及求
2、解各层中心坐标模型建立及求解各层中心坐标将空间中每层观测的点分别投影到,各平面，通过最( ,)iiix y zxoyyozxoz小二乘法确定出以投影的点为中心的中心直线，以三条直线为母线做平行于三角坐标的平面，求解三个平面的交点即为中点的坐标。000(,)xyz利用 Excel 及 Matlab 软件求解出各层中心坐标。3 3古塔倾斜分析古塔倾斜分析将古塔各层相邻的中心坐标连接起来，构成空间向量，通过求解向量的夹角、来确定古塔的倾斜情况。计算与仿真结果表明，古塔中心各层间都有倾斜，但在 8-9 层，12-13 层时倾斜更为严重。4 4古塔扭曲，变形分析古塔扭曲，变形分析将中心坐标投影到面，计算
3、相邻层上投影点构成的直线的斜xoy( ,)iix y率，得到夹角。该角度说明了中心发生倾斜时的方向、角度大小描tank述了扭曲程度大小。结果表明古塔朝着平面的第四象限偏移大。xoy5 5古塔变形预测古塔变形预测采用多元回归分析法，根据最小二乘法原理，拟合出古塔最终变形的趋势。从图中可以看出古塔是各层不断的发生变化。并且在 8-11 层变形严重。关键词：中心直线关键词：中心直线 插值插值 曲线拟合曲线拟合 回归分析回归分析2一、问题重述一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行
4、观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。二、模型假设二、模型假设 1假设对模型计算结果均保留四位有效数字，不影响其变形趋势；2. 假设任意两层中心的连线为直线时，考虑其倾斜程度；3. 假设任意两层中心的连线为曲线时，考虑其弯曲、扭曲程度。4.假设
5、古塔是规则图形；5.假设古塔刚建好时地面平坦没有倾斜和扭曲。三、符号说明三、符号说明1，表示空间中点的坐标；( ,)iiix y z1,2,inL2.为投影平面直线方程的参数；, , , , ,a b c d e f3.表示空间投影到平面上的各点距离之和的最小值；M4.三个平面的交点；000(,)xyz5.、（，）表示向量的方向角； 0006.两点构成的直线的倾斜角；37.回归中未知参数。210,bbb四、模型建立及求解四、模型建立及求解1.1. 中心位置模型建立中心位置模型建立以古塔其中一层为研究对象，建立中心位置的数学模型。设，是古塔第层的观测的数据，为空间( ,)iiix y z1,2,
6、8i L1,2,inL中的点。首先，将，投影到平面上，得到观测数据记( ,)iiix y z1,2,inLxoy为，。( ,)iix y1,2,inL在平面直角坐标系中，建立以这些点构成的中心直线方程，记为，要求使各点，到直线的距离之和最小，即用最小yaxb( ,)iix y1,2,inL二乘法。将问题转化为求解的最小值。由二元函数极值原21=()nii iMyaxb理，令1=2()0niii iMyaxb xa1=2()0nii iMyaxbb即可求得，确定出直线方程ab、yaxb（1）同理，将，投影到平面上，得到观测数据记为( ,)iiix y z1,2,inLyoz，。采用二元函数极值原
7、理，可确定出直线方程(,)iiy z1,2,inLzcyd（2）将，投影到平面上，得到观测数据记为，( ,)iiix y z1,2,inLxoz( ,)iiz x。可确定出直线方程1,2,inLxezf（3）确定出的这三条直线（1） 、 （2） 、 （3）在空间分别表示三个母线依次平行于三个坐标轴的平面。求解出三个平面的交点，就是我们要找的每层的中心，记4作。000(,)xyz2.2.模型求解模型求解（1）题目中给出的 1986 年和 1996 年观测数据中，第 13 层中第 5 个观测点没有数据。利用数据插值的方法，将这个数据估计出来。在此，利用 Matlab 中 3 次样条插值，给出缺失数
8、据。调用函数 spline，数据计算如下所示：（计算的1(X,Y,X )缺失数据加黑显示）表一 1986 年第 13 层观测值 表二 1996 年第 13 层观测值13 层x/my/mz/m1566.308525.09252.866 2564.716523.61652.878 3564.418521.52152.897 4565.91519.89352.88 5 5566.308566.308519.7624519.762452.768752.7687 6569.701521.0552.703 7569.897523.18852.794 8568.582524.82252.822（2）将每一层
9、都采取上述的建模方法，计算每层的中心位置，其中。计算时采用 Excel、Matlab 软件对数据8n 进行求解，求解过程见附件一。解得每年各层中心位置坐标如下表所示：表三 每年各层中心位置坐标1986 年观测数据1996 年观测数据中心点坐标中心点坐标 层 数XYZ层 数XYZ1566.6645522.71311.77941566.665522.70971.77732566.7196522.65497.30462566.7205522.65987.32353566.7729522.603812.73863566.7751522.593712.72784566.8161522.606817.05
10、324566.8183522.624717.0565566.8621522.590721.74455566.8641522.586521.73676566.9084522.543526.23516566.9118522.569926.25187566.9408522.506629.83227566.9506522.496129.82618566.9468522.419433.33568566.9884522.459133.32849567.0218522.510536.86679567.0265522.454236.840410567.0569522.544940.19410567.01695
11、22.557740.187213 层x/my/mz/m1566.3142525.085752.864 2564.7222523.609852.877 3564.4872521.514852.889 4565.9161519.886852.878 5 5568.0575568.0575519.7562519.756252.765752.7657 6569.7072521.043852.696 7569.9032523.181752.789 8568.588524.815752.817511567.1045522.464444.434111567.1102522.337144.39212567.1
12、518522.415348.735412567.1578522.36348.683313567.2011522.73852.8313567.2012522.368452.826614567.2471522.243755.1233514567.2544522.236755.11982009 年观测数据2011 年观测数据中心点坐标中心点坐标层 数XYZ层 数xyz1566.7267522.67871.74371566.72695522.72341.77922566.764522.65177.28812566.7642522.68997.29513566.8002522.632612.714735
13、66.80044522.655312.71284566.8293522.622817.04424566.82971522.579317.03875566.8603522.488421.68535566.86096522.498221.68216566.9469522.553226.21786566.94784522.547826.18417566.9793522.537629.83487566.98522.518129.83018567.0305522.458833.35338567.0313522.453133.32849567.0815522.446536.8659567.0823522.
14、447136.80210567.1368522.366240.174410567.13806522.364940.137511567.1798522.375544.422811567.18096522.375244.402412567.2224522.334848.713512567.22383522.332948.708813567.2712522.24952.805313567.27251522.247352.803714567.336522.214655.08914567.3374522.213255.087通过数据，可以看出古塔各层中心坐标都有不同幅度的变动，为了更加清楚的描述数据间的
15、关系，通过 Matlab 软件仿真，得到下图：图 1 1986 年中心坐标仿真图 图 2 1996 年中心坐标仿真图6图 3 2009 年中心坐标仿真图 图 4 2011 年中心坐标仿真图从图中可以看出，古塔的中心随着时间的推移在发生着改变。古塔中心位置在 8、9 层及 11、12 层发生较为明显的偏移。3.3.古塔倾斜、弯曲、扭曲分析古塔倾斜、弯曲、扭曲分析（1 1）古塔倾斜分析）古塔倾斜分析设是古塔中心坐标，表示( ,)iiix y z111=,)(,)xyziiiiiiaa aaxx yy zzr 、第 层和第层中心点构成的向量。、（，i+1i00）表示向量的方向角。 0向量的方向余弦为， 222cosxxyzaaaa 222cosyxyzaaaa 222coszxyzaaaa 通过向量与坐标轴之间的夹角、，来判断倾斜程度，其中表示层与竖坐标的夹角，角度越大表示倾斜程度越大。、表示倾斜时朝那个z方向。通过 Excel 计算，得直线在空间的夹角。如下表所示：表四 每年各层之间倾斜角1986 年倾斜角1996 年倾斜角 层 数层 数189.431390.60610.8310189.426690.51540.7709 289.440690.54140.7785289.421290.70070.9088 389.428989.96280.5750389.428189.589
