《数学物理方法(刘连寿第二版)第06章习题[1]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方法(刘连寿第二版)第06章习题[1]（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 37 页第六章 习题答案6.1-1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数。（1）0 XX 00 X 0 lX（2）0 XX 00 X 0 lX（3）0 XX 00 X 0 lX（4）0 XX 0 aX 0 bX解：（1）时，代入边界条件得0 baxxX 和得到，不符合，所以 00 bX 0 alX 0 xX0 时，代入边界条件得0 xbxaxX sincos ， 00 aX 2224120sinlnlblXn L, 2 , 1 , 0 n所以： xlnxX212sin L, 2 , 1 , 0 n（2）时，代入边界条件得0 baxxX 和，所以存在。 00 aX 0 alX b
2、xX 时，代入边界条件得0 xbxaxX sincos ， 000 bbX L, 2 , 10sin222 nlnlalXn 综合：本征值：222lnn L, 2 , 1 , 0 n本征函数： xlnxXn cos L, 2 , 1 , 0 n（3）时，代入边界条件得0 baxxX 和，不符合。 00 aX 0 blX 0 xX时，代入边界条件得0 xbxaxX sincos ， 000 bbX L, 2 , 1 , 04120cos222 nlnlalXn 第 2 页 共 37 页本征函数： xlnxXn cos L, 2 , 1 , 0 n（4）时，代入边界条件得0 dcxxX 和，得到，
3、故。 0 dcaaX 0 dcblXba 0 时，代入边界条件得0 xdxcxX sincos 0sincos adacaX 0sincos bdbcbX 解得： L3 , 2 , 10sin222 nabnabdn 0sin0sincos aabnaabndaabncaX得，所以aabnn aabnnxabnxXn sin本征函数： axabnaabnxabnxXn sinsin6.1-2 单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放。试求管内空气柱的本征振动，即求解定解问题。 0,00|, 0|002 tlxuuuaulxxxxxtt解：设,代入原方程有： tTtXtxu , TaT XX
4、TXaTX220 002TaTXX 代入边界条件有:和 0000 XtTX 00 lXtTlX(1)先求解本征值问题 0, 000 lXXXX 时,有， 代入不成立0 cbxxX )( 0000 blXcX设0 xcxbxX sincos 代入 00 bX 0cos LclX 第 3 页 共 37 页 L, 2 , 1 , 0412222 nlnn L, 2 , 1 , 0212sinx nxlnXn (2)再求 即 02 nnnTatT 04122222 tTlantTnn 可得 tlanBtlanAtTnnn212sin212cos xlntlanBtlanAtTxXtxunnnnn212
5、sin212sin212cos, 故单簧管的振动为： 00212sin212sin212cos,nnn nnxlntlanBtlanAtxutxu 6.1-3 一根均匀弦固定于和两端,假设初始时刻速度为 0,而初始时刻弦的形状0 xlx 为一条抛物线,其顶点为，求弦振动的位移。 hl,2 txu,解:波动方程: 0,002 tlxuuxxtt 初始条件: 00 , xut 2 2440 ,xlhxlhxu 边界条件: 0, 0 tu 0, tlu设,分别代入方程和边界条件可得: tTtXtxu ,和 0, 000 lXXXX 02 TT 本征值问题的解为: 222lnn L3 , 2 , 1
6、n xlnxXn sin L3 , 2 , 1 n而 tlnBtlnAtTnnn sincos tTxXtxunnn , 11sinsincos,nnn nnlxntlnBtlnAtxutxu 代入初始条件有: 第 4 页 共 37 页 0sin0cos0sin0 ,1 nnntlxn ln lnBlnAlntu 0 nB而 2 2 144sin0 ,xlhxlh lxnAxunn 123220 dsin442302 2knnhkn xxlnxlhxlh lAln xlntlnnhtxun 12sin12cos12132,3 03 它只有奇次谐波6.1-4 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小
7、段距离，然后放手让其自由振动，设弦长为 ，被拨开的点在弦长（为正整数）处拨开距离，试求解弦的振动。l01 n0nh解：设弦的位移为，则波动方程为： txu, 0,002 tlxuuxxtt 边界条件: 0,0, 0 tlutu初始条件: lxnllx-nlhnnlxxlhnxu00000100 , 00 , xut令，代入方程和边界条件得： tTtXtxu ,和 0, 000 lXXXX 02 TT 本征值问题的解为: 222lnn L3 , 2 , 1 n xlnxXn sin L3 , 2 , 1 n而 tlnBtlnAtTnnn sincos tTxXtxunnn , 11sinsincos,nnn nnlxntlnBtlnAtxutxu 第 5 页 共 37 页代入初始条件有: 00sin0 ,1 n nntBlxnBlnxu 所以： lxnllx-nlhnnlxxlhnlxnAxunn000001 10sin0 , 积分有： lnxxlnxulA 0dsin0 ,2
