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1、14-24-2 餘式定理與因式定理餘式定理與因式定理重點整理重點整理1. 餘式定理：多項式除以之餘式為，推論：多項式)(xfx)(f除以之餘式。)(xfbax )(abf2. 因式、倍式：設為兩多項式，且，若存在使得)(),(xgxf0)(xg)(xq ，則稱為的倍式，為的因式。)()()(xqxgxf)(xf)(xg)(xg)(xf3. 因式定理：設，為一多項式，則為的Rba,0a)(xfbax )(xf因式。0)(abf4. 一次因式檢驗法：設為一整係數011 1)(axaxaxaxfn nn n L次多項式，若為的整係數一次因式且，則nbax )(xf1),(ba。0,abaan例 1.
2、(1)求除以之餘式。242)(210xxxxf1x(2)設，求。1537935699357)(2345xxxxxxf)2(f2類 1. 以，除之，餘式分別為 45，-15 求15)(24bxaxxxf3x1x以除之，餘式為 。1x類 2. 求 。2001246012161258127123345類 3. 以除的餘式為 。1x5102610019992000xxxx類 4. 設均為多項式，除以之餘式為，除)(),(xgxf)(xf12x23 x)(xg以之餘式為，則除以的322 xx25 x)() 15()()3(2xgxxfx1x餘式為 。類 5. 已之，且，3221)(xxxxf)2() 1
3、(xfxg，求除以的餘式。)2()(xgxh)()(xxgxh1xAns: 1. 19，2. 40，3. 12，4. 62，5. -8。例 2.(1)多項式除以，之餘式分別為 5,7，求除以)(xf1x2x)(xf之餘式。)2)(1(xx(2)多項式除以，之餘式分別為 5，求)(xf2x322 xx65 x除以之餘式。)(xf)32)(2(2xxx3類 1. 設多項式以除之餘 3，以除之餘-9，則以)(xf2x4x除之餘式為 。)4)(2(xx類 2. 設為一多項式，若，分別除之，)(xf0)deg(x1x2x3x餘式為 3，7，13，則以除之餘式為 。)(xf)3)(2)(1(xxx類 3.
4、 多項式除以，之餘式分別為 10，求)(xf2x12 xx1x除以之餘式。)(xf) 1)(2(2xxxAns: 1. ，2. ，3.。12 x12 xx222 xx例 3.多項式以及除之餘式分別為，（)(xf2)32(x2)2( x9978 x6x）： (1)今以除之餘式為 deg4)(xf)2()32(xx)(xf。 (2)今以除之餘式為 。)2()32(2xx)(xf類 1. 多項式，以除之，餘式為，以)(xf3)(degxf2) 1( x32 x除之餘式為，試求(1)以除之餘式為 2)3( x23 x)3)(1(xx，(2)以除之餘式為 。)3() 1(2xxAns: 1. (1),(
5、2)。12 x22 x4例 4.次數不小於 3 之多項式以，)(xf)(cxbx)(axcx除之餘式分別為， (1)求。(2)(bxax13 x1x32 xcba,若以除之餘式為何？)(xf)()(axcxbx例 5.是一四次多項式，以除之得餘式 3，以除之得餘式)(xf3) 1( x2x6，以除之得餘式 138，求（須展開為降次排列）2x?)(xf類 1. 已知，以除之餘式為，以除之餘式為3)(degxf12x4x12x，求。2 x)(xf5Ans: 1. 。323 xx例 6.多項式 (1)以除的餘式為 342)(72637xxxxf12x)(xf。 (2)以除的餘式為 。 (3)以除的餘
6、13x)(xf15x)(xf式為 。類 1. 設，則除以(1)的餘式1)(4893662000xxxxxxf)(xf12x為 ，(2)的餘式為 。13x Ans: 1. (2),(2)。22 xxx222例 7.，求除1232)(23810254351xxxxxxxxxf12 xx之餘式 。)(xf類 1. 設，(1)求除以的餘式，(2)xxxxxf11324835)()(xf12 xx求除以的餘式。)(xf1234xxxx6類 2. 設，求除以的餘式。547)(82259xxxxf)(xf1234xxxx類 3. 求除以之餘數= 。1132132101131324 Ans: 1. (1),(
7、2)，2. ，3. 171。99 xxxx252368323xxx例 8. 以除所得之餘式為 。322 xx32)43( xx類 1. 以除的餘式為 。322 xx102)42( xx類 2. 除以的餘式為 。32)342( xx422 xx類 3. 除以的餘式為 。8)2( x342 xxAns: 1. 1，2. ，3. 1。125例 9. 設有因式，求數對之值10234nxmxlxx)2)(1(2xx),(nml為：(A) (-7,9,7) (B) (7,9,-7) (C) (7,9,7) (D) (-7,9,-7) (E) (7,-9,-7)。7類 1. 設為的因式，則？232 xx10
8、)(234bxaxxxxf),(ba類 2. 若為的因式，則？122 xxnxmxxx2342),(nm類 3. 設為正奇數，為正整數，則多項式恆有nmmnxxxf)5()3()(下列那一個因式? (A) (B) (C) (D) (E)。1x2x3x4x5x類 4. 設可被整除，求之值。1)(34bxaxxf2) 1( xba,類 5. 若為的因式，則？12x22)(2345bxxxaxxxf),(ba類 6. 設且，多項式有的因式，Ncba,cba17)(bxaxxcx 則？),(cbaAns: 1. ，2. ，3. (D)，4. ，5. ，6. 。)11, 1 ()2 , 4(4, 3ba
9、)0 ,23() 1 , 2 ,18(例 10.試求的整係數一次因式。並求3552)(234xxxxxf的根。0)(xf類 1. 設，已知在區間121426296)(234xxxxxf0)(xf及內有有理根，(1)此有理根為 ，(2)另二根為 )31, 1()2 , 1 (。8類 2. 方程式的所有有理根是 。044956)(234xxxxxfAns: 1. (1),(2)，2. 。23,322232,21例 11.設為三次多項式，若，試求)(xf4)3()2() 1 (fff2)0(f？)(xf類 1. 設為三次式，且，求。)(xf8) 1 (, 2)0(, 4)3()2(ffff)(xf類
10、 2. 設為三次多項式，且，則)(xf240)5(, 0)3()2() 1 (ffff？)4(fAns: 1. ，2. 60。2113223xxx例 12.設，為整係數多項式，若已知Zk 22)(234kxkxxxxf有整係數之一次因式，求。)(xfk類 1. 設，有整係數一次因式，Nqp,22)(2345xqxxpxxxf則 。 qpAns: 1. 1。9例 13.設，且之四根相異之有理數，求Zcba,09234cxbxaxx。cba,類 1. 設，多項式可表為四個相異整Zcba,4)(234cxbxaxxxf係數一次因式的乘積，求之值。cba類 2. 設，方程式有四個相異有理根，Zcba,0103234cxbxxx求最大根。 Ans: 1. 5，2. 2。
