《圆的切点弦方程的九种求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆的切点弦方程的九种求法（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1圆的切点弦方程的解法一、预备知识：1、在标准方程下过圆上一点的切线方222)()rbyax（),00yxP（程为： ；2 00)()rbybyaxax （在一般方程 （） 下过圆上022FEyDxyx0422FED一点的切线方程为：),00yxP（。02200 00FyyExxDyyxx2、两相交圆 （）与011122FyExDyx0412 12 1FED（） 的公共弦所在的直线022222FyExDyx0422 22 2FED方程为： 。0)()()(212121FFyEExDD3、过圆 （）外一点022FEyDxyx0422FED作圆的切线，其切线长公式为：。),11yxP（FEyDxy
2、xPA112 12 1|4、过圆 （）外一点022FEyDxyx0422FED作圆的切线，切点弦 AB 所在直线的方程为：),11yxP（在圆的标准方程下的形式） ； 2 11)()rbybyaxax （在圆的一般方程下的形式） 。02211 11FyyExxDyyxx二、题目 已知圆外一点 P（-4，-1） ，过点 P 作044222yxyx 圆的切线 PA、PB，求过切点 A、B 的直线方程。 三、解法 解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示 1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存k 在时） ，那么过点 P（-4，-1）的切线方程为： )4() 1(xky即 014kykx由 消去并整理
3、得 044201422yxyxkykxy0) 12416()268()1 (2222kkxkkxk令 0) 12416)(1 (4)268(2222kkkkk解得 或0k815k将或分别代入解得 、0k815k1x1728x从而可得 A(,)、B(1,-1)，17281758B 2再根据两点式方程得直线 AB 的方程为：。0235 yx解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率 如图示 1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时） ，那么过点 P（-k 4，-1）的切线方程为： )4() 1(xky即 014kykx由圆心 C(1,2)到切线的距离等于圆的半径 3，得014kykx3
4、 ) 1(|1421|22 kkk解得 或0k815k所以切线 PA、PB 的方程分别为：和052815 yx1y从而可得切点 A(,)、B(1,-1)，17281758再根据两点式方程得直线 AB 的方程为：。0235 yx解法三：用夹角公式求切线的斜率 如图示 1，设要求的切线的斜率为，根据已知条件可得k|PC|= ，34)1(2)4(1 223r53 )4(1) 1(2PCk在中，|PA|=5，PACRt53CPAtg由夹角公式，得 5353153 kk解得 或0k815k所以切线 PA、PB 的方程分别为：和052815 yx1y从而可得切点 A(,)、B(1,-1)，17281758
5、再根据两点式方程得直线 AB 的方程为：。0235 yx解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点 如图示 1，根据已知条件可得|PC|= ，34)1(2)4(1 223r53 )4(1) 1(2PCk在中，|PA|=5，AHPC，从而可得 PACRt925HCPH3由定比分点公式，得 H(,)34113441又因为 351PCABkk再根据点斜式方程得直线 AB 的方程为： 。0235 yx解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之 一 如图示 2，因为|PA|=|PB|，所以直线 AB 就是经过以 P 为圆心|PA|为半径的圆C与圆的交点的直线，由切线长公式得044222yxyx
6、|PA|=54) 1(4)4(2) 1()422（所以圆 C的方程为 082822yxyx根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235 yx即 直线 AB 的方程为：。0235 yx解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二 如图示 3，因为 PACA，PBCB，所以 P、A、C、B 四点共圆，根据圆 的直径式方程，以 P（-4，-1） 、C（1，2）为直径端点的 圆的方程为 0)2()1() 1()4(yyxx即 06322yxyx 根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235 yx即 直线 AB 的方程为：。0235 yx解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义 设切点 A、B 的坐
7、标分别为、，根据过圆上一点的切线方程，),(11yx),(22yx 得切线 PA、PB 的方程分别为和04242211 11yyxxyyxx04242222 22yyxxyyxx因为 P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点 P 的坐标代入并整理，得 023502352211 yxyx由式知，直线 经过两点 A、B，0235 yx),(11yx),(22yx所以，直线 AB 的方程为：。0235 yx解法八：直接运用圆的切点弦方程xyABCOP 8 xyBCOPHC1 3 4因为 P（-4，-1）是圆外一点，根据切点弦所在直044222yxyx线的方程 得02211 11FyyExxDyyx
8、x0421424214）（）（）（yxyx整理得，直线 AB 的方程为：。0235 yx解法九：运用参数方程的有关知识如图 4，将圆的普通方程 化为参数方程：044222yxyx（其中为参数） sin32cos31 yx设切点 A 的坐标为（，） ，由 PACA 得cos31sin3211)cos31 (2)sin32( )4()cos31 () 1()sin32( 化简，整理得03sin3cos5又因为53 )4(1) 1(2PCk351PCABkk可设直线 AB 的方程为 ，将点 A（，035cyxcos31）代入并整理，得sin320311sin3cos5c由式和知，从而得 3311 c2c所以，直线 AB 的方程为：0235 yxyOBAP 4
