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1、 “震撼震撼”的动感地带的动感地带在数学学习中,我们常用到数学变换平移、旋转或翻折(对称) ,数学的运动变换给人以“动感”的美,堪称数学中的“动感地带” 。数学变换的运用,正体现了数学思维方法的生动活泼性及灵活多样性。下面仅就旋转变换,结合实例和大家共同体验“旋转”所带给我们的动感吧!例 1:如图所示,abc 为等边三角形,点 p 为正三角形内一点,且 ap=3,bp=4,cp=5,求abc 的边长是多少?分析与思考:结合abc 为正三角形及 ap=3,bp=4,cp=5 的特殊性(3,4,5 为勾股数)考虑到利用旋转变换,进行转化。1.将apb 绕点 a 逆时针旋转 60,得adc,则可以判
2、定apd 为等边三角形。则 pd=3,再注意到pdc 中,pd=3,dc=pb=4,pc=5,则由此判定pdc 为直角三角形,pdc=90,所以 并且等边三角形apd 的面积可求,因为其边长 pd=pa=ad=3 所以: 。2.将cpa 绕点 c 逆时针旋转 60,得ceb,则可判定pce 为等边三角形,且边长 pe=5,观察pbe 中,pb=4,be=ap=3,又 pe=5,所以由此判定pbe 为直角三角形。其中pbe=90,所以 且等边三角形pec面积为:。3.同理,将bpc 绕点 b 逆时针旋转 60,得bfa。则可判定bpf 为等边三角形,且边长 pf=4,观察apf这里我们通过旋转,
3、巧妙的运用了旋转后所得到的特殊图形的“面积”及其它们之间的关系,顺利的解决了此处的问题。当然,我们还有更为简捷的方法解决这里的问题。等到今后的更高的年级里我们再进一步学习“余弦定理”之后,我们就可以利用“余弦定理”轻松地加以解决了。下面我们再看一例。例 2:如图,abc 为等边三角形,点 p 在abc 内部,apbbpccpa=567,则以 ap、bp、cp 为边的三角形的三个内角各为多少?分析与思考:显然apb、bpc、cpa 均可求出,因为apb+bpc+cpa=360,且apb:bpccpa=567。所以apb=100,bpc=120,cpa=140。考虑利用旋转,将 pa、pb、pc
4、三边集中到同一个三角形中去,将apb 绕点 a 逆时针旋转 60,得adc。则可以判定apd 为等边三角形。于是 ap=pd,且 dc=pb,此时在pdc中的三个内角即为题中所要求的三个内角。显然:dpc=apc-adp=140-60=80。且pdc=adc-adp=apb-adp=100-60=40,所以:pdc=180-dpc-pdc=180-80-40=60。这样以 ap,bp,cp 为三边的三角形各内角分别为:40、60、80。例 3:最后,再来看一个利用旋转变换求 1 到 n 的连续 n 个自然数的平方和的精彩的例子。如图(图中)将 1、2、3、n 作正三角形排列,排列的规则是:第
5、k 行的共 k 个位置上的所有数均为 k,显然第 k 行所有数的和为 k2,这样所有的第一到第 n 行的所有数的和应为 s 平方和=12+22+32+k2+n2。下面我们探求如何求出 s 平方和。将图绕正三角形的中心逆时针旋转 120得图,再将图绕中心逆时针旋转 120得图。现在将图、图、图三个正三角形再加以叠合,则叠合后对应的三个数的和为(2n+1) ,显然这样的“和”共有个,因此所有的数字的和应为: ,而另一方面所有的这些数字的和又可表示为:3(12+22+32+n2) ,比较上述的关系,我们自然得到以下关系式:3s 平方和=。所以可得:s 平方和=。利用此式可以很便捷地求出 1 到 n 的连续 n 个数的平方和。如求 12+22+32+502,则 n=50,将 n=50 代入 s 平方和中可得:s 平方和=12+22+32+502=