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1、 “震撼震撼”的动感地带的动感地带在数学学习中，我们常用到数学变换平移、旋转或翻折（对称） ，数学的运动变换给人以“动感”的美，堪称数学中的“动感地带” 。数学变换的运用，正体现了数学思维方法的生动活泼性及灵活多样性。下面仅就旋转变换，结合实例和大家共同体验“旋转”所带给我们的动感吧！例 1：如图所示，abc 为等边三角形，点 p 为正三角形内一点，且 ap=3，bp=4，cp=5，求abc 的边长是多少？分析与思考：结合abc 为正三角形及 ap=3，bp=4，cp=5 的特殊性（3，4，5 为勾股数）考虑到利用旋转变换，进行转化。1.将apb 绕点 a 逆时针旋转 60，得adc，则可以判
2、定apd 为等边三角形。则 pd=3，再注意到pdc 中，pd=3，dc=pb=4，pc=5，则由此判定pdc 为直角三角形，pdc=90，所以 并且等边三角形apd 的面积可求，因为其边长 pd=pa=ad=3 所以： 。2.将cpa 绕点 c 逆时针旋转 60，得ceb，则可判定pce 为等边三角形，且边长 pe=5，观察pbe 中，pb=4，be=ap=3，又 pe=5，所以由此判定pbe 为直角三角形。其中pbe=90，所以 且等边三角形pec面积为：。3.同理，将bpc 绕点 b 逆时针旋转 60，得bfa。则可判定bpf 为等边三角形，且边长 pf=4，观察apf这里我们通过旋转，
3、巧妙的运用了旋转后所得到的特殊图形的“面积”及其它们之间的关系，顺利的解决了此处的问题。当然，我们还有更为简捷的方法解决这里的问题。等到今后的更高的年级里我们再进一步学习“余弦定理”之后，我们就可以利用“余弦定理”轻松地加以解决了。下面我们再看一例。例 2：如图，abc 为等边三角形，点 p 在abc 内部，apbbpccpa=567，则以 ap、bp、cp 为边的三角形的三个内角各为多少？分析与思考：显然apb、bpc、cpa 均可求出，因为apb+bpc+cpa=360，且apb：bpccpa=567。所以apb=100，bpc=120，cpa=140。考虑利用旋转，将 pa、pb、pc
4、三边集中到同一个三角形中去，将apb 绕点 a 逆时针旋转 60，得adc。则可以判定apd 为等边三角形。于是 ap=pd，且 dc=pb，此时在pdc中的三个内角即为题中所要求的三个内角。显然：dpc=apc-adp=140-60=80。且pdc=adc-adp=apb-adp=100-60=40，所以：pdc=180-dpc-pdc=180-80-40=60。这样以 ap，bp，cp 为三边的三角形各内角分别为：40、60、80。例 3：最后，再来看一个利用旋转变换求 1 到 n 的连续 n 个自然数的平方和的精彩的例子。如图（图中）将 1、2、3、n 作正三角形排列，排列的规则是：第
5、k 行的共 k 个位置上的所有数均为 k，显然第 k 行所有数的和为 k2，这样所有的第一到第 n 行的所有数的和应为 s 平方和=12+22+32+k2+n2。下面我们探求如何求出 s 平方和。将图绕正三角形的中心逆时针旋转 120得图，再将图绕中心逆时针旋转 120得图。现在将图、图、图三个正三角形再加以叠合，则叠合后对应的三个数的和为（2n+1） ，显然这样的“和”共有个，因此所有的数字的和应为： ，而另一方面所有的这些数字的和又可表示为：3（12+22+32+n2） ，比较上述的关系，我们自然得到以下关系式：3s 平方和=。所以可得：s 平方和=。利用此式可以很便捷地求出 1 到 n 的连续 n 个数的平方和。如求 12+22+32+502，则 n=50，将 n=50 代入 s 平方和中可得：s 平方和=12+22+32+502=
