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1、1积分变换与场论积分变换与场论综合练习综合练习一、选择题：一、选择题： 1. f(t)的的 Laplace 变换式是变换式是( )( )F s A) ； B) ；( )stf t edt 0( )stf t edtC) ； D) 。( )stf t e dt0( )stf t e dt2. -函数函数满足满足=（ ） ，其中，其中为无穷次可微为无穷次可微( ) t( ) ( )t f t dt( )f t函数。函数。A) ； B) ； C) 1； D) 0。( )f t(0)f3. 下列哪个说法是错误的下列哪个说法是错误的( )A) (t0)的的 Laplace 变换实际上就是变换实际上就是的
2、的 Fourier 变换；变换；( )f t( )( )tf t eu tB) 若若的的 Fourier 变换是变换是，则，则的的 Fourier 逆变换是逆变换是( )f t( )F( )F；1( )( )2i tf tFedC) 单位阶跃函数单位阶跃函数的的 Fourier 变换是变换是；( )u t1( )2( )u ti D) 若若，则，则 ( )( )f tF s ()f at1( ).sFaa4. 在在 Laplace 变换中，卷积的定义式是变换中，卷积的定义式是（ ）12( )( )f tf tA) ； B) ；120( )()ff td120( )()ff tdC) ； D)
3、。120( )()tff td120( )()tff td5 若若，则下列式子中不正确的是，则下列式子中不正确的是( ) ( )( )f tF sA). ； B). ；( )( )( )nnfts F s 01( )( )tf t dtF ssC). （） ；( )()ate f tF saRe ()s sacD). 。 ()( )sf teF s6. 在矢量场在矢量场 A 中，若中，若 divA=0，则称，则称 A 为为 （ ） A) 管形场；管形场； B) 调和场；调和场； C) 保守场；保守场； D) 有势场。有势场。 二、填空题二、填空题1. -函数函数的的 Fourier 变换变换=
4、 ，(t) ( )t2其其 Laplace 变换变换= 。 ( )t2. 若若满足满足 Fourier 积分存在定理条件，则函数积分存在定理条件，则函数的的 Fourier 积分积分( )f t( )f t公式为：在公式为：在的连续点处收敛于的连续点处收敛于 ，( )f t在在的间断点的间断点 t 处收敛于处收敛于 。( )f t3若若在在上满足上满足 Laplace 积分存在定理条件，积分存在定理条件，( )f t(,) 则则 Laplace 反演积分公式是反演积分公式是 .4. 设设 则则 .( )(35),f tut ( )f t5. 点点的矢径的矢径 r=xi+yj+zk 构成一个矢量
5、场，则构成一个矢量场，则( , , )M x y z其点（其点（1，1，1）处矢量线方程为）处矢量线方程为 。6. 数量场数量场在点在点 M(2, 1, 1)处沿矢量处沿矢量 l=2i+2j-k 方向的方向的23ux yyz方向导数为方向导数为 ，梯度，梯度 grad 。Mu三、三、解答下列各题解答下列各题1. 按定义求函数按定义求函数的的 Fourier 变换变换。( )cos3f tt( )F2.已知已知, 求求. ( )( )f tF( )tf t3. 利用微分性质、积分性质计算利用微分性质、积分性质计算。 0sinttetdtt4. 求求的的 Laplace 逆变换。逆变换。22( )
6、(2)(1)sF sss5 求矢量场求矢量场在点在点处处()()()Ax zy iy xz jz yx ku rrrr(1,2,3)M沿方向沿方向的环量面密度。的环量面密度。(1,2,2)n r四、解答题四、解答题1. 设矢量场设矢量场 A=i+j+k,，写出，写出 A 的雅可比矩阵，的雅可比矩阵，2(3)x yz22()yxz2xyz并求并求 A 的散度的散度 divA 和旋度和旋度 rotA。.2. 已知已知 A=2xyi+j+k，证明：，证明：A 为有势场，为有势场，22yz22(21)xy z求全体势函数求全体势函数,并求并求A dl。(1,1,1)(0,0,0)五、利用五、利用 Laplace 变换证明定解问题变换证明定解问题的解为的解为00( )( )( ) 0tty ty tf t yy 0( )sin().tyftd
