含参不等式恒成立问题中,求参数取值范围一般方法

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1、含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知 一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方 法。 一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须 af x求出，则；若恒成立，只须求出，则 maxf x maxaf x af x minf x，转化为函数求最值。 minaf x例 1、已知函数，若对任意恒有，试确定的 lg2af xxx2,x 0f x a取值范围。解：根据题意得：在上恒成立，21axx2,x即

2、：在上恒成立，23axx 2,x设，则 23f xxx 239 24f xx 当时， 所以2x max2f x2a 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若恒成立，只须求出，则，然后 f ag x maxg x maxf ag x解不等式求出参数的取值范围；若恒成立，只须求出，则a f ag x ming x，然后解不等式求出参数的取值范围，问题还是转化为函数求最值。 minf ag xa例 2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。,1x 21240xxaaa解：令， 所以原不等式可化为：，2xt,1x Q0,2t 2 21taat要使上式在

3、上恒成立，只须求出在上的最小值即可。0,2t 21tf tt0,2t 222111111 24tf ttttt Q11,2tQ min324f tf23 4aa13 22a二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用 分类讨论的思想来解决。例 3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。2,2x 23xaxaa解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。 23f xxaxa 2,2x f x（1）当即：时， 又所以22a 4a min2730f xfa7 3a4a 不存在；a（2）当即：时， 222a 44a 2min3024aaf xfa又 62a 44a

4、42a （3）当 即：时， 又22a4a min270f xfa7a 4a 74a 综上所得：72a 三、确定主元 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数） ，而把另x 一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作a 为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例 4、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。2211xm x 2m mx解：设，对满足的，恒成立， 2121f mm xx2m m 0f m 解得： 2221210202021210xxffxx1713 22x 四、利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能

5、解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为 ,m nf ag a f am g an实数的取值范围。a例 5、当时，恒成立，求实数的取值范围。1,33xlog1ax a解：1log1ax Q（1）当时，则问题转化为 1a 1xaa11,3,3aa3 11 3aa3a（2）当时，则问题转化为01a1axa11,3,3aa1 3 13aa 103a 综上所得：或103a3a 五、数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象， 然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例 6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。23log0axx10,3xa解：由题意知：在内恒成立，23logaxx10,3x在同一坐标系内，分别作出函数和23yxlogayx观察两函数图象，当时，若10,3x函数的图象显然在函1a logayx数图象的下方，所以不成立；23yx当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，01alogayx1 1,3 311log33a1 27a1127a 综上得：1127a上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件 综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。