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1、据说，17 世纪时，大数学家 Fermat 曾向意大利的物理学家和数学家 Torricelli 提出过 这样一个问题：在已知锐角三角形 ABC 内求一点 P，使得 PA+PB+PC 最小。Torricelli 证 明了，这个点是存在的，且APB=BPC=CPA=120。他还指出，若分别以 AB、BC、AC 为边向外作等边三角形 ABC、BCA、ACB，则 AA、BB、CC三线共点， 交点即为所求的点 P。这个点后来被称为 Fermat 点，通常记作 F。这个定理有很多种证明， 这里我们先介绍一种比较简单的证明方法。考虑三角形内任一点 P，将ABP 绕点 B 旋转 60得到CBP。显然，BPP是
2、等边三 角形，PB=PP；同时，PA 也转移到了 CP，于是 PA+PB+PC=CP+PP+PC，P 点到三个顶 点的距离和转换为了一条从 C到 C 的折线段。注意 C的位置是和 P 无关的（CAB 始终成 等边三角形） ，因此折线段 CPPC 的长度的最小值即为 CC的长度。这个最小值是可以达 到的，即 P 和 P可以恰好落在 CC上。如果点 P 在 CC上且APB=120，则旋转之后 CPB 也等于 120，正好与BPP 组成一个平角，于是 C、P、P、C 四个点都在一条直线 上，CP+PP+PC 达到最小。这个点就是我们要求的 Fermat 点 F。注意这个点 F 满足以下 两条性质：在
3、等边三角形顶点 C与原三角形顶点 C 的连线上，对 AB 张角为 120。由对称 性，BFC 和CFA 也都等于 120，且点 F 同时也在 BB和 CC上。这也说明了为什么 AA、BB、CC三线共点。这个题目真正有趣的地方在于，它有一个非常简单的物理解法。我们可以用 Fermat 原 理来说明，为什么 Fermat 点 F 满足AFB=BFC=CFA=120。假设我们固定 AF 的长度， 那么 F 点的轨迹是一个以 A 为圆心的圆。当 BF+FC 达到最小时，路径 B-F-C 必然符合 光的传播性质，反射点 F 满足入射角等于反射角，也就是说 AF 的延长线（即法线）平分 BFC。同样地，固
4、定 BF 的长度，则要想 AF+FC 最小，BF 的延长线必须平分AFC。类 似地，还有 CF 的延长线平分AFB。只有上述三个角平分关系同时成立时，AF+BF+CF 才 能达到最小，否则我总可以调整它们间的角度使其变得更优。再加上对顶角相等，我们立 即看到，右图中所有这 6 个角全都等于 60。这样，我们就得到了先前证明的结论：存在 点 F 使得它到 A、B、C 的距离和最小，此时AFB=BFC=CFA=120。上面的这个问题有一个扩展，叫做广义 Fermat 点问题。考虑平面上 n 个点 A1, A2, ., An，每个点都有一个权值 W1, W2, ., Wn，广义 Fermat 点是这
5、样的一个点 P，它使得 PAi*Wi 达到最小。广义 Fermat 点更具一般性，有非常高的实用价值。比如，城区里有 n 个住宅区，第 i 个住宅区里有 Wi 个人，问邮局设在哪里可以使所有人到邮局的总路程最短。 目前，广义 Fermat 点问题还没有一般结论，但它可以通过力学模拟法完美解决。我们可以 用力学模拟法说明，这个广义 Fermat 点是唯一存在的。事实上，我们可以建立力学模型找 出这个点来。取一块木板，在木板上标出 n 个点所在的位置，各钻一个小孔。再找 n 条同样长的细 绳，把所有绳子的其中一头扎结于一点；第 i 根绳子从木板上点 Ai 处的小孔穿过去，绳子 另一头系上一个重 Wi 的砝码。所有准备工作就绪后，把木板水平悬在空中，此力学系统 平衡后绳结所在的位置即为所求的点 P。这是为什么呢？道理很简单。重物悬挂的位置有尽可能往低处走的趋向，此时重力势能转化为动能； 当整个系统静止时，势能应该达到最小。假如我们用 Hi 来表示静止时第 i 个砝码离地面的 距离，那么此时 Hi*Wi 达到最小。由于木板与地板之间的距离一定，因此 Li*Wi 达到最 大。又由于绳长为定值，所以 PAi*Wi 达到最小。
