《数学竞赛专题讲座七年级第5讲_计算—工具与算法的变迁(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学竞赛专题讲座七年级第5讲_计算—工具与算法的变迁(含答案)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五讲第五讲 计算计算工具与算法的变迁工具与算法的变迁研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有：1巧用运算律；2用字母代数；3分解相约；4裂项相消；5利用公式；6加强估算等“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法威尔逊注：威尔逊，著
2、名计算物理学家，20 世纪 80 年代诺贝尔奖获得者【例 1】 现有四个有理数 3，4，l0，将这 4 个数(每个数用且只用一次)进行加、减、6 乘、除四则运算，使其结果等于 24，其三种本质不同的运算式有： (1) ；(2) ；(3) (浙江省杭州市中考题) 思路点拨思路点拨 从 24 最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑链接： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构” 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在：(1)有理数的计算每一步要确定符号；
3、（2）有理数计算常常是符号演算；(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构【例 2】 如果 4 个不同的正整数满足，qpnm、4)7)(7)(7)(7(qpnm那么，等于( )qpnmA10 B2l C24 D26 E28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨思路点拨 解题的关键是把 4 表示成 4 个不同整数的形式 【例 3】 计算：(1)； (“祖冲之杯”邀请赛试1003211 3211 211
4、1LL题) (2)1949219502+1951219522+1997219982+19992 (北京市竞赛题) (3)5+52+53+十 52002 思路点拨思路点拨 对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是 5，可从用字母表示和式着手 链接：裂项常用到以下关系式：（1）；baabba11（2）；111 ) 1(1 aaaa（3）baabaab 11 )(运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有：（1）；)(22bababa（2）2) 1(321nnnL错位相减、倒序相加也是
5、计算中常用的技巧 【例 4】(1)若按奇偶分类，则 22004+32004+72004+92004是 数；(2)设， ，则的大小关系是 (用“”号连553a444b335ccba、接)；(3)求证：32002+42002是 5 的倍数 思路点拨思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：乘方意义；乘方法则；与的奇偶性相同；在中(，r 为非02nanaarkn4k负整数，0r500 5x+1 x3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),使得等式成立:63 212=24. (第 17 届江苏省竞赛题)4.1999 加上它的得到一个数,再加上所得的
6、数的又得到一个数,再加上这次得数的 1 21 31 4又得到一个数,依此类推,一直加到上一次得数的,那么最后得到的数是11999_.5.根据图所示的程序计算,若输入的 x 值为,则输出的结果为( ).3 2A. B. C. D. (2002 年北京市海淀区中考题)7 29 41 29 2y=-x+2 1bc. 2.(1)-43.6;(2)-3;(3) ;3 49985997 (4)48,注意 13672=81709. 3.略 4.1999000 提示:原式=1999(1+)(1+)(1+)1 21 311999 5.C 6.A 7.B 8.A 9.(1)-135;(2)an=a1qn-1;(3
7、)a1=5,a4=40.10.(1)-16 提示: =1,m=4,n=-4;(2)5353与 3333的个位数字相同.|x x11.(1) ;(2)6 提示:2n+1-2n=2n;(3); (4) 12.(1)9;(2)115200 13.-6676682 5111000 49114 2 4 3 个12 14.(1)略;(2)当 n(n+1)n;(3).15.A 16.C 17.B 提示: 18.A11 11()(2)22n nnn19.这 9 个数的积为1248163264=643,1 41 2 所以,每行、每列、每条对角线上三个数字积为 64,得 ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,
8、f 分别为, 2,4 中的某个数,推得 x=8.1 41 2fedcba64x3220.2 提示:这两个三数组在适当的顺序下对应相等,于是可以断定,a+b 与 a中有一个为 0, 与 b 中有一个为 1,再讨论得 a=-1,b=1.b a21.(1)222;(2)444=4256444;(3)设所用数字为 a,可得下面 4 种写法:当 a=1 时,111 最大;当 a=2 时,222最大;当 a=3 时,333最大;当 a4 时,a 最大. 22.由题意设输出数, 设 C(m,n)为 k,则 C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,1)=2C(m-1,1).(1)C(1,
9、n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+22= C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1(2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22C(m-2,1)=2m-1C(1,1)=2m-1.(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+22=C(m-1)+2(n-1) =22C(m-2,1)+2(n-1)=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.提高训练提高训练1若，则=_ （“希望杯”邀请赛试题）1 mm2004) 14(m2符号“”表示一种运算，他对一些数的运算结果是：f（1），0) 1 (f1)2(f2)3(f3)4(f（2），2)21(f3)31(
10、f4)41(f5)51(f利用以上规律计算：_ （贵阳市中考题）)2008()20081(ff3等于（ ） 3028864215144321 LLA B C D （“希望杯”邀请赛试41 4121 21题）4 的值为（ ） 20032004)2(3)2(A B C D (江苏省竞赛题)200322003220042200425自然数满足，则等于（ dcba、111112222dcba65431111 dcba） A B C D （北京市竞赛题）81 163 327 64156是互不相等的正整数，且，那么的值是（ dcba、441abcddcba ） A30 B32 C34 D36 (“希望杯”
11、邀请赛试题)7已知，且求的值 （北京市迎春杯竞赛题）55)(2bbba012baab8已知、都不等于 0，且的最大值为，最小值为，则abcabcabc cc bb aamn_ (重庆市竞赛题)2005)(nm9从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是_第一组：，；53134.255.75第二组：，；312151第三组：， （“华杯赛”试题）2.25125410计算：的值是（ 20066423 10086423 10066423 10046423 LLLLL） A B C D （第 18 届五羊杯竞赛题）10033 10043 3341 1000111已知有理数、两两不相
12、等，则，中负数的个数是（ xyzzyyx xzzy yxxz ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 （重庆市竞赛题）12若有理数、使得、这四个数中的三个数相等，则的xyyx yx xyyxxy 值是（ ） A B0 C D （天津市竞赛题）2121 2313已知，下列判断正确的是（ ） 05432edcabA B C D (江苏省竞赛题)0abcde042ecdab02cdeab04eabcd14已知，都是正整数，并且，mn)11)(11 ()311)(311)(211)(211 (mmAL)11)(11 ()311)(311)(211)(211 (nnBL证明：（1），；mmA21nnB21（2）若,求和的值 （华杯赛试题）261 BAmn
