苏州大学苏州大学 2004 年数学分析解答年数学分析解答 博士家园博士家园 顾问原创顾问原创 luting5- 1 -1.(20’)224022243002 223225002222500(arctan )1lim(arcsin ) 122(arctan )(arctan )1limlim4 12622 (1)2(arctan )1limlim4(1)1220(26)(1)28limlim(1)(1220)xxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxx xxxxxxx xxx（）求极限解：原式=2422322306 (1)(1220)8682lim(1)(1220)123xx xxxx xx 1112(2)1[01],lim( )1(0)10,(1)10,[01]( )[01]( )(1)210,[01]( )[01][01]nnnnnnnnxxxf xxxxffnxf xfxnxnxxxf x nn证明对任意自然数，方程… …在区间，上总有唯一实根x 并求x证明：令… …则，因此在，上有零点又… …，所以在，上单调从而f (x)在，上存在唯一的零点，111[01]11,lim1lim12nnnn nnnnnnnxxxxxxxnx nn也即方程… …在区间，上总有唯一实根x因此… …两边令则有x2.(20')苏州大学苏州大学 2004 年数学分析解答年数学分析解答 博士家园博士家园 顾问原创顾问原创 luting5- 2 -12 12121211sin00[ ,)11111,,limsin1limsin0222 1sin01110,,2422 111,4441sinnnax axxnxxnxxxnnxxNnnnx 0证明函数在区间（，）上不一致连续，但是对于任意，在上一致连续。
证明：（）法一：取则从而在区间（，）上不一致连续法二：取，则取取21212122 1212122121sin11sin0[ ,)0,0,111111sinsin11sinsin1sin[ ,)xx axxxxxxxxxxx xaaxxax 0从而在区间（，）上不一致连续(2)当x时当时，有取时，有即在上一致连续苏州大学苏州大学 2004 年数学分析解答年数学分析解答 博士家园博士家园 顾问原创顾问原创 luting5- 3 -2222242223232tan3.,(0,)sin2 tan sin(0,)( ),( )(0,)sin2cos2 sin2sin coscossin(2 cossin ) cos 2 sin cos2sincossin2 sin cos cosxxxxx x xxxxf xf xxxxx xxx xxxxxxx xx xxxxxxxxxx xx证明不等式证明：在上>0, 令显然在连续下证f (x)>1f (x)=2232232222222sincossin (1 cos) cos sin ( cos2sin cos) cos( )( cos2sin cos),(0,)2 ( )cos2 cos sin2cos2sin12 cos sin3sinsin (2 cos3sin )0,(0,)2 ( )( )xxxxx xx x xxxxx xxh xxxxxx xh xxxxxxxxxxxxxxxxh xh x 令所以单调递增， 02322200lim ( )0cos2sin cos0sin0,cos0,(0,)2( )0,( )(0,)2 sinlim( )lim1cos ( )1 tan,(0,)sin2xxxh xxxxxxxxxxfxf xxf xxx f x xxxxx从而又所以即在单调递增所以f (x)>即从而苏州大学苏州大学 2004 年数学分析解答年数学分析解答 博士家园博士家园 顾问原创顾问原创 luting5- 4 -1111114.(20')(1)( )[1( )0(1)111(2)lnln ,2,32ln23ln3ln {}1( )( )( )nnnnnnnknkkf xf x dxLfan nnn aaf x dxaf x dxf x dx nk=1nk=1nnk=1k=1设在，+ ）上非负递减，证明n+ 时f (k)有极限L，且设… …… …证明数列收敛。
证明：（）令f (k)则f (k)f (k)112(1)( )0(1)( )(1)( ),( )[1(1)( )0{}(1)0,,0(1)12ln( )nnnnnnnnn kkkf naaaf nf x dxf nff xf nfaafanLfxxaf k nn-1k=1k=11f (k)f (k)所以有下界又其中（n, n+1)由于在，+ ）上非负递减，所以从而单调递减因此收敛且a两边令有（）. 令f (x)=1110111110111111100( )(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)ln(1) 110(1)ln(1)(1) 1 (1)nnnnknnknnkf x dxf kf xdxf kf xdxf xdxf kf xdxf xdxdxxxxxxxxx:有（）知道收敛又令g(x)=可以知道是g(x)的瑕点，x0时，而101 (1)ln(1){}ndxdxxxa10收敛，所以收敛因此收敛苏州大学苏州大学 2004 年数学分析解答年数学分析解答 博士家园博士家园 顾问原创顾问原创 luting5- 5 -22222222225. 20(2)1cossin(2)(cossin )cos( sin )sincosu x u x uuurxr uuuuuuurrxrrrr （’ ）设u(x, y)在平面上二次连续可微，x=rcos , y=rsi n , (r0)(1)用u关于r, 的偏导数表示用u关于r, 的一，二阶偏导数表示解：（）22222cos2sincosuuurrr 22212236.(15')0,(1)( ),( )( )( ),( ),( )( )( ),( )1 1( )( )11 1(1)( ),( )11nnnnnnaaf xn xf xf xf xn xg xg xnxxx g xxh xh xxxx xh xg xxx xxxg xf xxx n=1n=1n=1n=1n=1设求级数的和解：设的收敛区间为（-1，1）令则令则则，（）（）从而（）（323311(1)1(1)(2)11()1(1)1(1)1nnaaaafaaa a n=1）苏州大学苏州大学 2004 年数学分析解答年数学分析解答 博士家园博士家园 顾问原创顾问原创 luting5- 6 -222 2224422rrrOF ABAD OBOF ABADOBa rBDABADa rDEraS227. （20‘ ）设半径为r的球面s的球心在半径为常数a的定球面上，问：r为何值时，s位于定球面内部部分面积最大？解：设s位于定球面内部部分面积为S, S为一球冠，则S=2 rh, 其中h为球冠的高如图，ED =h, BE=r, AB=r作O FAB, 则O F= aa所以因此2 rh=2 r(2 23244 33)22 34403 6|4|404 3rararrrraaSrrraaSraraS 令所以当时，最大108642-2-4r-10-5510aDFAOBE苏州大学苏州大学 2004 年数学分析解答年数学分析解答 博士家园博士家园 顾问原创顾问原创 luting5- 7 --4-22468107654321-1-2-3EBODA苏州大学苏州大学 2004 年数学分析解答年数学分析解答 博士家园博士家园 顾问原创顾问原创 luting5- 8 -11010 11.lim( )( )( )lim,lim( )( ),)( ),()( )()( ))( )( ( )( )()xxxg xfxf xAAAg xg xxxCauchyxxfA xxg xg xgf xg xgg xg x 0000xxx011８（15' )设函数f , g在x 的某个领域上可导，且g(x)0,如果证明，其中是实数。
证明：取x由中值定理，令f (x)-f (x有f (x)-f (x111111111011111())))()()( )(1)( )( )()( )( ))()()()( )()(1)( )( )()( )( )0,0,) ( )()4xg xf xf x g xg xg xg xg xg xf xAg xf xAAg xg xg xg xg xxxxxAAg xg xx 11101f (xf (x)-f (x从而f (x)-f (x所以令，则使得当x时，有f (x)-f (x－将固定，0111111110(),()()()1,( )( )2)()()()( )2( )( )()( )( )42( )lim( )xxxxAaxg xf xAg x g xg xg xf xAg xf xAAg xg xg xg xg xf xAg x 01x令，则由 g(x)知道使有于是f (x)-f (x－（１＋）＋所以。