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1、- 1 -中考中的一次函数应用题求解策略中考中的一次函数应用题求解策略1 试题概述试题概述一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：学生对数形结合的认识和理解；将实际问题转化为一次函数的
2、能力，即数学建模能力；分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查。对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：方案设计问题（物资调运、方案比较）；分段函数问题（分段价格、几何动点）；由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。一次函数多种变量及其最值问题。2 试题例析试题例析2.1 方案设计问题方案设计问题物资调运物资调运例 1.为支持四川抗震救灾，重庆市 A、B、C 三地现在分别有赈灾物资 100 吨，、100吨、80 吨，需要全部运往四川重灾地区的 D、E 两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 D 县的数量
3、比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨。（1）求这批赈灾物资运往 D、E 两县的数量各是多少？（2）若要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60 吨，A 地运往 D 的赈灾物资为 x 吨（x为整数），B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于 A 地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍。其余的赈灾物资全部运往 E 县，且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 25 吨。则 A、B 两地的赈灾物资运往 D、E 两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知 A、B、C 三地的赈灾物资运往 D、E 两县的费用如下表：A 地B 地C 地运往 D 县的费用（元/吨）220200200- 2 -运
4、往 E 县的费用（元/吨）250220210为即使将这批赈灾物资运往 D、E 两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？解析：本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并结合表格将数量关系进行整理，解决起来并不难。直接用一元一次方程求解。运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨，设运往 E 县 m 吨，则运往 D 县（2m-20）吨，则 m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。（亦可用二元一次方程组求解）由中结论，并结合题设条件，由 A 地运往 D 的赈灾物资为 x 吨，可将相应
5、数量关系列表如下：A 地（100 吨）B（100 吨）C（80 吨）D 县（180吨）x（220 元/吨）180-60-x=120-x（200 元/吨）60（200 元/吨）E 县（100吨）100-x（250/吨元）100-20-（100-x）=x-20（220 元/吨）20（210 元/吨）表格说明：A、B、C、D、E 各地后括号中的数字为调运量或需求量；表格中含 x 的式子或数字，表示对应地点调运数量；表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。确定调运方案，需看问题中的限制条件：B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于 A地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍。B 地运往 E 县的赈灾物资
6、数量不超过 25 吨。故：解得 40x45 x 为整数x 的取值为 41，42，43，44，45 则这批救灾物资的运送方案有五种。方案一：A 县救灾物资运往 D 县 41 吨，运往 E 县 59 吨；B 县救灾物资运往 D 县 79 吨，运往 E 县 21 吨。 （其余方案略）设运送这批赈灾物资的总费用为 y，由中表格可知：y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+20060+21020 =-10x+60800- 3 -y 随 x 增大而减小，且 40x45，x 为整数，当 x=41 时，y 有最大值。该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是：y=-1041
7、+60800=60390（元）求解物资调运问题的一般策略：用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；根据表格中量的关系写函数式；依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。方案比较方案比较例 2.（在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为 x（张），总费用为 y（元）。现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费 10000 元，则该单位所购买门票的价格为每张 60 元；（总费用=广告赞助费+门票费）方案二：购买方式如图 2 所示。解答下列问
8、题：方案一中，y 与 x 的函数关系式为 ；方案二中，当 0x100 时，y 与 x 的函数关系式为 ，当 x100 时，y 与 x 的函数关系式为 。如果购买本场足球赛门票超过 100 张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。- 4 -甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共 700 张，花去总费用计 58000 元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？解析：这是一个两种方案的比较问题。方案比较通常与不等式联系紧密。比较优惠条件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区间。中方案一的函数关系式，直接依题意写出：y1=60x+10000（x0）；方案二的函数关系由图象给出，用
9、待定系数法求解。当 0x100 时，图象为过原点的线段，函数式为正比例函数，可求得 y2=100x（0x100）；当 x100 时，图象为不过原点的射线，函数式为一次函数，过（100，10000），（150，14000），可求得 y2=80x+2000（x100）。购买门票超过 100 张，比较那种方案最省，了先使 y1=y2，求出此时 x 的值。然后利用不等式确定方案。当 y1=y2时，60x+10000=80x+2000，解得 x=400，即购买 400 张门票，两种方案费用相同。当 y1y2时，解得 x400，则当 100x400 时，选择方案二，总费用最省；当 y1y2时，解得 x40
10、0，则当 x400 时，选择方案一，总费用最省。分两种情况讨论：（用方程求解）甲单位按方案购买的门票少于 100 张时，设甲买 m（m100）张，则乙买 700-m张。100m+60（700-m）+10000=58000 解得 m=150（不合题意，舍去）甲单位按方案购买的门票少于 100 张时，设甲买 m（m100）张，则乙买 700-m张80m+2000+60（700-m）+10000=58000 解得 m=200，700-m=500求解方案比较问题的一般策略：在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给
11、出图象的，直接依题意进行列式。方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。- 5 -方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。2.2 分段函数问题分段函数问题分段价格分段价格例 3.（2008 年襄樊第 23 题）我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费即一月用水 10 吨以内（包括 10 吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过 10 吨的用户，10 吨水仍按每吨元收费，超过 10 吨的
12、部分，按每吨元（ba）收费设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图 13 所示（1）求的值；某户居民上月用水 8 吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当 x10 时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水 4 吨，两家共收水费 46 元，求他们上月分别用水多少吨？解析：（1）当时，有将，代入，得 用 8 吨水应收水费（元） （2）当 x10 时，有 将，代入，得 故当 x10 时，（3）因，所以甲、乙两家上月用水均超过 10 吨- 6 -设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨，则 解之，得故居民甲上月用水 16 吨，居民乙上月用水 12 吨 解分段价格问题的一般策略：
13、分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。几何图形中的动点几何图形中的动点例 4.（2008 年长沙第 25 题）在平面直角坐标系中，一动点 P（，y）从M（1，0）出发，沿由 A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图）按一定方
14、向运动。图是 P 点运动的路程 s（个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图是 P 点的纵坐标 y 与 P 点运动的路程 s 之间的函数图象的一部分.（1）s 与 之间的函数关系式是： ；（2）与图相对应的 P 点的运动路径是： ；P 点出发 秒首次到达点 B；- 7 -（3）写出当 3s8 时，y 与 s 之间的函数关系式，并在图中补全函数图象.解析：(1)由图象可知为正比例函数。S=(t0) (2)由图象，M 纵坐标为 0 变为1，则路径为：MDAN， 10 秒(3)当 3s5，即 P 从 A 到 B 时，y=4-s； 当 5s7，即 P 从 B 到 C 时，y=-1； 当 7s8，即
15、P 从 C 到 M 时，y=s-8（补全图象略） 求解几何图形中的动点问题一般策略：解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。2.3 数形结合由数形结合由“形形”求式求式单个函数图象单个函数图象例 5.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系- 8 -根据图象进行以下探究：信息读取信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点的实际意义；图象理解图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇 30 分钟后，第二列快车与慢车
