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1、 勾股定理的证明勾股定理的证明 【证法证法 1】1】 （课本的证明）（课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做 三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. . 即abcabba214214222， 整理得 222cba. . 【证法证法 2】2】 （邹元治证明）（邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21 . . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直
2、线上， B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. . RtHAE RtEBF, AHE = BEF. . AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. . HEF = 18090= 90. . 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. . 它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. . HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. . 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. . ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于2ba . . 22 214cabba. . 2
3、22cba. . 【证法证法 3】3】 （赵爽证明）（赵爽证明） 以 a、b 为直角边（ba） ， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacba cbacbacbacbabac GDACBFEHababccABCDE三角形的面积等于ab21 . . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. . RtDAH RtABE, HDA = EAB. . HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF =
4、 90. . EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于2ab . 22 214cabab. . 222cba. . 【证法证法 4】4】 （18761876 年美国总统年美国总统 GarfieldGarfield 证明）证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21 . . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. . RtEAD RtCBE, ADE = BEC. . AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. . DEC = 18090= 90. . DEC 是一个等腰直角
5、三角形，它的面积等于2 21c. . 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. . ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2 21ba . . 22 21 21221cabba. . 222cba. . 【证法证法 5】5】 （梅文鼎证明）（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. . 把 它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. . D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + G
6、EF = 90，PHGFEDCBAabcabcabcab ccccbacbaABCEF PQMN BEG =18090= 90. . 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. . ABC + CBE = 90. . RtABC RtEBD, ABC = EBD. . EBD + CBE = 90. . 即 CBD= 90. . 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. . BDPC 是一个边长为 a 的正方形. . 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. . 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,21222abS
7、baabSc2122, 222cba. .【证法证法 6】6】 （项明达证明）（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长 为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在 一条直线上. . 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. . 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. . BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. . QBM + MBA = QBA = 90， AB
8、C + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. . 同理可证 RtQNF RtAEF. . 从而将问题转化为【证法 4】 （梅文鼎证明）. . 【证法证法 7】7】 （欧几里得证明）（欧几里得证明） 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点cbacba ABCDEFGHMLK在一条直线上，连结 BF、CD. . 过 C 作 CLDE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. . AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB G
9、AD， FAB 的面积等于2 21a， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =2a. . 同理可证，矩形 MLEB 的面积 =2b. . 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 222bac ，即 222cba. . 【证法证法 8】8】 （杨作玫证明）（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形. . 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. . 过 B 作 B
10、PAF，垂足为 P. . 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. . BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. . 又 DHA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. . DH = BC = a，AH = AC = b. . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. . 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. . RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. . RtDGT RtDHA . . DH = DG = a，GDT = HDA
11、 . . 又 DGT = 90，DHF = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. . GF = FH = a . . TFAF，TF = GTGF = ba . . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba）. . 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为987654321PQRTHGFEDCBAabcabccc543212SSSSSc abaabbSSS21438= abb212，985SSS， 82 4321SabbSS= 812SSb. . 把代
12、入，得98812 212SSSSbSSc= 922SSb= 22ab . . 222cba. .【证法证法 9】9】 （李锐证明）（李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为 c. . 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上. . 用数字 表示面积的编号（如图）. . TBE = ABH = 90， TBH = ABE. . 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT RtABE. . HT = AE = a. . GH = GTHT = ba. . 又 GHF + BHT =
13、 90， DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. . DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. . 即 27SS . . 过 Q 作 QMAG，垂足是 M. . 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE = QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM . . 又 RtHBT RtABE. . 所以 RtHBT RtQAM . . 即 58SS . . 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE. . AQM + FQM = 90，BAE + CAR
14、= 90，AQM = BAE， FQM = CAR. . 又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. . 即64SS . . 543212SSSSSc，612SSa，8732SSSb， 又 27SS ，58SS ，64SS ， 8736122SSSSSbaMHQRTGFEDCBAcba87654321=52341SSSSS =2c， 即 222cba. .【证法证法 10】10】 （利用反证法证明）（利用反证法证明） 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过 点 C 作 CDAB，垂足是 D. . 假设222cba，即假设 222ABBCAC，则由ABABAB2=BDADAB=BDABADAB 可知 ADABAC2，或者 BDABBC2. . 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.
