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1、13.3.2 简单的线性规划问题1简单线性规划的有关概念（1）约束条件：由变量 x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为 x，y 的约束条件例如，就是一个关于 x，y 的约束条件224 0,1xy xy（2）线性约束条件：约束条件中都是关于变量 x，y 的一次不等式(或一次方程)，这样的不等式组称为x，y 的线性约束条件例如，就是一个关于 x，y 的线性约束条件10 1xy x （3）目标函数：把要求最大值或最小值的函数称为目标函数例如，已知 x，y 满足约束条件，分别确定 x，y 的值，使取得最小值，取得最大值，其中和222 1xy xyzxzxyyzx均为目标函数zxy（4）线性目标函
2、数：目标函数是关于变量 x，y 的一次解析式的称为线性目标函数例如，上述例子中是线性目标函数，而不是线性目标函数zxyyzx（5）线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题（6）可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解（7）可行域：由所有_组成的集合叫做可行域（8）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解注：（1）约束条件也可以是方程，线性约束条件也可以是二元一次不等式与二元一次方程的组合，而一般意义上的约束条件可以是多样化的不等式或者方程形式的组合；（2）可行解必须使线性约束条件成立，而可行域是所有可行解构成的平面区域
3、2简单线性规划问题的解法（1）目标函数 zaxby(b0)的几何意义将目标函数 zaxby 变形为的形式，它表示斜率为，在 y 轴上的截距为，并随 zazyxbb a bz b2变化的一组平行直线把直线 axby0 向上平移时，在 y 轴上的截距逐渐增大，当 b0 时，z 的值随之_；z b当 b0 时，z 的值随之_把直线 axby0 向下平移时，在 y 轴上的截距逐渐减小，当 b0 时，z 的值随之_；z b当 b0 时，z 的值随之_（2）线性规划问题的求解方法图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答” ，即： 画：在平面直角坐标系中
4、，画出可行域和直线 axby0(目标函数为 zaxby)； 移：平行移动直线 axby0，确定使 zaxby 取得最大值或最小值的点；求：求出使 z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及 z 的最大值或最小值；答：给出正确答案K知识参考答案：1可行解 2增大 减小 减小 增大K重点相关概念的理解：（线性）约束条件、 （线性）目标函数、可行域、最优解K难点简单线性规划问题的实际应用、寻找最优整数解K易错来源:学科网 ZXXK作图不准确导致错误简单线性规划的有关概念问题（1）在线性规划中，下列命题正确的是A最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值B最优解指的是目标函数的最大值
5、或最小值3C最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解（2）目标函数 zxy，将其看作直线方程时，z 的意义是A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的横截距D该直线纵截距的相反数【答案答案】（1）D ；（2）D【名师点睛名师点睛】熟练掌握相关概念是解决此类问题的关键，注意区分可行域、可行解与最优解求线性目标函数的最值求线性目标函数最值的两种方法：（1）平移直线作出可行域，正确理解 z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移直线得到最优解（2）顶点代入法依约束条件画出可行域，解方程组得出可行域各顶点的坐标，分别计算出各顶点处目标函数 za
6、xby 的值，经比较后得出 z 的最大（小）值对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的顶点处取得，在求解此类问题时可由此快速找到最大值点或最小值点（1）若变量 x，y 满足约束条件，则 z3x2y 的最小值为_；45801302xyxy （2）若 x，y 满足约束条件，则 z3xy 的最大值为_；20210220xyxyxy （3）如图 1，及其内部的点组成的集合记为 D，P(x，y)为 D 中任意一点，则 z2x3y 的最大值ABC为_4图 1图 2图 3【答案答案】（1） ；（2）4；（3）723 5【解析解析】（1）作出可行域，如图 2 中阴影部分所示，当直线经过点 A 时 z 取得最小
7、值来源:学_科_网3 22zyx Z_X_X_K由解得，此时，zmin312458 1xy x 1x 4 5y 4 523 5（2）作出不等式组表示的可行域，如图 3 中阴影部分所示，作直线 l0：3xy0，平移直线 l0，当直线 3xyz 过点(1，1)时，zmax314（3）方法方法 1：由题意，目标函数 z2x3y 的可行域为的边界及其内部ABC令 z0，即 2x3y0，平移直线 2x3y0 至目标函数的可行域内，可知当 2x3yz 过点 A(2，1)时，z 取得最大值，即 zmax22317方法方法 2：将点 A，B，C 的坐标分别代入目标函数，求得相应的 z 值分别为 7，2，6，故
8、 z2x3y 的最大值为 7【名师点睛名师点睛】 （1）目标函数本质是函数的解析式 zf(x，y)，线性目标函数即关于 x，y 的线性组合；（2）线性规划的最优解的个数不确定，只有一组(x，y)使目标函数取得最值时，最优解只有 1 个，如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值；同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个，如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线重合时，会有多个最优解；可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解线性规划在实际问题中的应用（1）线性规划的实际问题的类型：给定一定数量的人力、
9、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小常见问题有：物资调运问题：例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小?产品安排问题：例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的5A，B，C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大?下料问题：例如 ，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，
10、应怎样下料能使损耗最小?（2）解答线性规划实际应用题的步骤：模型建立正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法；模型求解画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解；模型应用将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案甲、乙两厂生产某种产品，它们可调运的数量分别是 300 吨、750 吨，A、B、C 三地需要该产品的数量分别是 200 吨、450 吨、400 吨甲厂运往三地的费用分别是 6 元/吨、3 元/吨、5 元/吨；乙厂运往三地的费用分别是 5 元/吨、9 元/吨、6 元/吨
11、则怎样调运可使总费用最少？【答案答案】甲厂的产品全运往 B 地，乙厂运往 A、B、C 三地的产品分别是 200 吨、150 吨、400 吨时，总费用最少，为 5650 元作出可行域，如图中阴影部分所示，6作直线 2x5y0，并上下平移，由图知，当 2x5yz7150 过点(0，300)时，目标函数取得最小值，zmin5650故甲厂的产品全运往 B 地，乙厂运往 A、B、C 三地的产品分别是 200 吨、150 吨、400 吨时，总费用最少，为 5650 元【名师点睛名师点睛】（1）在线性规划的应用问题中，题中的条件较多，应认真审题，仔细判断线性约束条件中有无等号，判断未知数 x，y 是否有限制
12、（如 x，y 为正整数、非负数等） ，分清线性约束条件和线性目标函数（线性约束条件一般是不等式组，而目标函数是一个等式） ；（2）图形对解决线性规划问题至关重要，最关键的步骤是通过数形结合完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范（作图中必然会有误差，假如图上的最优解并不明显易辨时，需将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优解） 学科&网线性规划中的整数解问题已知 x，y 满足不等式组，求使 4x3y 取得最大值的整数 x，y65600534000,0xyxyxy 【答案答案】使 4x3y 取得最大值的整数，或，3x 8y 0x 12y 7【名师点睛名师点睛】对于线性
13、规划中最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数时，可用下面的方法求解：（1）平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解；（2）检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解；（3）调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解非线性目标函数的最值问题（1）形如型的目标函数22()()zxayb这是一个两点间的距离的模型，也可视为圆的模型，可化归为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的最8值问题常见的类似形式有或等22()()zxayb22zxy已知实数
14、 x，y 满足约束条件，则的最小值为_2030xyxyx 22(2)zxy【答案答案】16 5【名师点睛名师点睛】此模型借助于两点间的距离公式，利用数形结合思想巧妙求得最值，比较简捷（2）形如型的目标函数(0)aybzaccxd这是一个斜率模型，可先变形为，将问题化归为求可行域内的点(x，y)与点(，)()()byaazdcxc d cb a连线的斜率的倍的范围或最值等问题常见的类似形式有或等a cybzxayzx已知实数 x，y 满足约束条件，则的最小值是4340 0,0xy xy 1yzxA2 B2 C1 D1【答案答案】D【解析解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，9的几何
15、意义是可行域内的点 P(x，y)与定点 A(0，1)所在直线的斜率，1yzx由图象可知当 P 位于点 D(1，0)时，直线 AP 的斜率最小，此时的最小值为，故选 D1yzx1 010 1 【名师点睛名师点睛】斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的因此有必要总结常见模型或其变形形式（3）形如型的目标函数zAxByC这是一个点到直线的距离模型，可先变形为，将问题化归为求可行域内的点2222AxByCzAB AB (x，y)到直线 AxByC0 的距离的倍的最值问题22AB实数 x，y 满足不等式组，则 z|x2y4|的最大值为_2025040xyxyxy 【答案答案】21
