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1、计算方法计算方法 科作业纸科作业纸姓名姓名 蒋丽丽蒋丽丽 序号序号 1515 院系院系 土木工程土木工程 专业专业 结构工程（结构工程（06 研）研） 第 页习题六1、试探法证明方程有三个实根,并确定三个根所在区间(区间长度不超过 1).0128423xxx证明:令,则有1284)(23xxxxf, 011284) 1 (, 01)0(ff, 051222824)2(23f0131) 1(2) 1(8) 1(4) 1(23f显然方程在区间上都存在实根,由此得所求方程有三个实0128423xxx)2 , 1 (),1 , 0(),0 , 1(根,三个根所在的区间为: .)2 , 1 (),1 ,
2、 0(),0 , 1(3、方程在附近有根, 将方程作三种改写,可得三种迭代式:0123 xx5 . 10x(1) ; (2) ;21211,11kkxxxx32 1231,1kkxxxx(3) .11,1112 xxxxk判断各迭代式在附近的收敛性;选一种收敛最快的迭代式,计算附近的根,准确的5 . 10x5 . 10x4 位小数.解:判断各迭代式的收敛性如下:（1）令,则有,:1)kkxx（211)xx（592592592. 05 . 1 22)33 00xx（2）令,则有1)kkxx（321)xx（;455768625. 05 . 1133)1 (32) 32322 00 xxx（3）令,
3、则有1)kkxx（11)xx（.414213562. 1) 15 . 1 (21) 1(21) 33 00 xx（由于方法(1)、(2)的，而方法（3）的，故知前两式收敛，由于（2）的1)( 0x1)( 0x值更小，所以选择方法（2）的迭代式计算，过程如下：)( 0x计算方法计算方法 科作业纸科作业纸姓名姓名 蒋丽丽蒋丽丽 序号序号 1515 院系院系 土木工程土木工程 专业专业 结构工程（结构工程（06 研）研） 第 页,4812. 1)5 . 11 (32 1x4727. 1)4812. 11 (32 2x,4688. 1)4727. 11 (32 3x4670. 1)4688. 11 (
4、32 4x,4662. 1)4670. 11 (32 5x4659. 1)4662. 11 (32 6x,4657. 1)4659. 11 (32 7x4656. 1)4657. 11 (32 8x.4656. 1)4656. 11 (32 9x由于,故所求方程在附近的根即为.98xx 5 . 10x4656. 18x13、用牛顿法于方程和分别导出求的迭代公式。已知，0nxa1/0na xna4 031.3x问用这种迭代公式迭代一、二次能得几位小数准确的近似值（已知）？431.31607401解：1).令，按泰勒展开：( )nf xxa ! 2)(“)( )()(k kkkxfxxxfxfxf
5、取前两项得到：,取，得到：11)( )(nnk kk kknxaxxxfxfxxx3, 4, 3 . 10anx，显然,316374602. 13 . 14 33 . 13 . 1341x316074116. 1316374602. 143316374602. 1316374602. 1342x迭代一、二次能得到 3、6 位小数准确的近似值。2).令，按泰勒展开：( )1/nf xa x ! 2)(“)( )()(k kkkxfxxxfxfxf取前两项得到：,取，得到：11()(1) ()n kkk kk kf xnxxxxxfxnan3, 4, 3 . 10anx,，显然515 1.31.3
6、1.31558916744 3x525 1.3155891671.3155891671.31607356744 3x迭代一、二次能得到 2、5 位小数准确的近似值。16用雅可比迭代法与赛德尔迭代法解方程组，取初值，准确到两位小数。 7416518321321321xxxxxxxxxTx)0 , 0 , 0()0(计算方法计算方法 科作业纸科作业纸姓名姓名 蒋丽丽蒋丽丽 序号序号 1515 院系院系 土木工程土木工程 专业专业 结构工程（结构工程（06 研）研） 第 页解：1）雅可比迭代格式为：，由题意得：444751 51 51681 81 81)( 2)( 1)1( 3)( 3)( 1)1(
7、 2)( 3)( 2)1( 1kk kkkkkkkxxxxxxxxx.)00. 3,00. 4,00. 1(,)00. 3,00. 4,00. 1(,)97. 2,97. 3,98. 0(,)90. 2,93. 3,93. 0(,)74. 2,70. 3,89. 0(,)58. 2,56. 3,74. 0(,)75. 1,20. 3,13. 0()6()7()6()5()4()3()2()1(xxxxxxxxTTTTTTT故，解毕；)6(xx 2）赛德尔迭代格式为：，由题意得： 444751 51 51681 81 81)1( 2)1( 1)1( 3)( 3)1( 1)1( 2)( 3)( 2
8、)1( 1kk kkkkkkkxxxxxxxxx.)00. 3,00. 4,00. 1(,)00. 3,00. 4,00. 1(,)99. 2,99. 3,98. 0(,)94. 2,89. 3,85. 0(,)59. 2,23. 3,13. 0()4()5()4()3()2()1(xxxxxxTTTTT故，解毕。)4(xx 17设有方程组，写出雅可比迭代、赛德尔、的迭代算式。三种迭代是否收 .251084,118104,134410321321321xxxxxxxxx2 . 1SOR敛？为什么？解：（1）雅可比迭代格式为：，由于故不能判断；108 104 1025108 104 101110
9、4 104 1013)( 2)( 1)1( 3)( 3)( 1)1( 2)( 3)( 2)1( 1kk kkkkkkkxxxxxxxxx0108 1041080104104 1040JB, 11012JB方法二：因所给线性方程的系数矩阵为 108481044410 A计算方法计算方法 科作业纸科作业纸姓名姓名 蒋丽丽蒋丽丽 序号序号 1515 院系院系 土木工程土木工程 专业专业 结构工程（结构工程（06 研）研） 第 页其雅可比迭代矩阵的特征方程为，J0 108481044410 解之得。09. 1,69. 0, 8 . 0321于是 ，因而雅可比迭代法发散。 109. 1J（2）赛德尔迭代
10、格式为： .108 104 1025,108 104 1011,104 104 1013)1( 2)1( 1)1( 3)( 3)1( 1)1( 2)( 3)( 2)1( 1kk kkkkkkkxxxxxxxxx100008044010080801004000100080440108401040010 )(11 FEDBS由于故收敛;, 6723206401600400400010001 , 11000800SB方法二：赛德尔迭代矩阵 G 的特征方程为 108481044410解得628. 0,208. 0, 0321于是 ， ，因而法赛德尔迭代法收敛。 1628. 0G(3)、SOR 迭带法：
11、 kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx31 21 11 3231 11 01321 12 . 1110/ )8425(2 . 12 . 1110/ )8411(2 . 12 . 1110/ )4413(2 . 1因，易知，所以是对称矩阵； 108481044410 ATAA A计算方法计算方法 科作业纸科作业纸姓名姓名 蒋丽丽蒋丽丽 序号序号 1515 院系院系 土木工程土木工程 专业专业 结构工程（结构工程（06 研）研） 第 页由解之得矩阵的特征值为均大于零，则正定。xAxA93.20,07. 7, 2321A所以是正定对称矩阵。A又，故 SOR 迭代法收敛。22 . 1018
12、.设有方程组写出收敛的迭代格式，说明收敛的理由。1231231231.253.6912.370.58,10.019.050.121.43,1.224.332.763.22.xxxxxxxxx 解： 交换方程的顺序，得方程组12312312310.019.050.121.43,1.224.332.763.22,1.253.6912.370.58.xxxxxxxxx 其系数矩阵严格对角占优，故雅可比迭代， 的 SOR 迭10.019.050.12 1.254.332.76 1.253.6912.37A 01代收敛。雅可比迭代格式为： 1 1231 2131 3121.439.050.12/10.013.22 1.222.76/4.330.58 1.253.69/12.37kkkkkkkkkxxxxxxxxx SOR 迭代收敛为： 1 123111 2132111 31231.439.050.12/10.01 (1)3.22 1.222.76/4.33(1)0.58 1.253.69/12.37(1)kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx
