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1、1债券模型摘要本文讨论了债券交易价格波动研究的数学问题。债券交易价格波动富含许多 经济信息，对于价格的数据进行处理以获取经济信息是经济理论的常用的手段和 正确风险评价的基础，也是预测和预防各种债券风险危机的前提。因此，对债券 交易价格波动进行研究具有重要现实的意义。首先对 7 种债券主观地分为三大类：国债、企业债和地方债。国债（3） 、国 债（9） 、国债（10）归为国债类；三峡债、海工债、长电债归为企业债；新疆债 归为地方债。我们主要以收盘价格作为分析依据，通过 EViews 软件对每种债券 收盘价格序列分析可知，同一大类中不同债券的收盘价格序列具有相同的特点， 由此可证明我们的分类是合理的
2、。我们可以从三大类中选取一种债券作为代表进行分析。本文中取三峡债、国 债（10） 、新疆债这三种债券，依照它们各自的特点建立了三个不同的模型。 三峡债收盘价格序列非平稳，故用随机游走模型对其描述，通过最小二乘法 对序列回归拟合,求出方程。经过对残差的 ARCH 检验发现它含有 ARCH 效应，故 建立了 ARCH 模型。对模型不断优化改进，消除条件异方差性和残差的自相关性， 最终确定模型为 AR（4）-GARCH 模型。经检验发现海工债、长电债也适用于这一 模型，从而验证了我们模型的合理性。因此企业债价格波动模型可以推广为 AR（p）-GARCH 模型。 对国债（10）单位根检验发现非平稳，对
3、其一阶差分后序列平稳。一阶差分 序列通过 EViews 软件分析其自相关和偏自相关函数，可以确定为 ARMA 过程和大 概的阶数，然后对不同阶数（p,q 的不同取值）的 ARMA 模型计算 AIC 值，按照 AIC 最小原则确定模型的 p、q 值，从而确定国债（10）的价格波动模型为 ARIMA（2,1,3） ，我们还通过 MATLAB 编程进行预测，预测结果与实际想接近，证 明建立的模型是合理的。通过检验可发现海工债和长电债也符合 ARIMA 模型，进 一步验证了模型的正确性。因此国债价格波动模型推广为 ARIMA（p,d,q）模型。 对新疆债价格序列单位根检验，发现它是一个平稳序列，因此可
4、建立 ARMA 模型。分析序列的自相关与偏自相关函数图，结合 AIC 最小原则确定阶数 p,q 的 值，最终确定模型为 ARMA（4,9） 。通过 EViews 软件和 MATLAB 软件进行预测分析， 发现预测结果基本符合实际，从而验证了模型的准确性。 模型的分析与求解主要依靠 EViews 软件来实现。关键字: ARCH 模型 ARMA 模型 ARIMA 模型 随机游走模型 单位根检验 ARCHLM 检验 AIC 原则 EViews 软件21.问题重述债券投资是现代主要投资之一，其规模远大于股票投资，债券投资风险监控 日益为各国政府和世界经济组织所重视，而它风险所彰显出来的严重后果目前的
5、欧美的债务危机为世人所公认和给人们前所未有恐惧。而债券交易价格波动富含 许多经济信息，对于价格的数据进行处理以获取经济信息是经济理论的常用的手 段和正确风险评价的基础。也是预测和预防各种债券风险危机的前提。本题拟完 成以下几个任务： 1 依据提供几种债券交易价格历年（日或月）的价格数据；获取描述其变化 规律的数学模型。 2 从网上获取 35 类债券交易价格数据验证获取价格波动模型是否有效。 3 获取国民经济的运行情况和债券交易价格的关系信息，给出债券评价风险 评价的数学模型。对我国的债券的总体风险经定量研究。 4 依据你的模型对目前的美债和欧债的危机进行一定的定量描述，把你的研 究结果和形成看
6、法写出一篇评论，给国人以启迪。2.模型假设(1) 假设可以将债券归纳为三大类：企业债、地方债、国债 (2) 假设每一类中可以任取一种债券为代表进行分析 (3) 将每一种债券的收盘价作为指标建立价格波动模型，不考虑其他指标3.符号说明(1)：三峡债收盘价格序列tsx(2)：随机误差项t(3)：常数项(4)：系数项、t(5)：国债（10）收盘价格序列tGZ10(6)：国债（10）收盘价格一阶差分序列dop(7)：新疆债收盘价格序列txj4.问题分析我们首先将题中所给的 7 种债券归纳为三大类债券：企业债、地方债、国债。 因此，得到以下分类： 企业债：三峡债、海工债、长电债；3地方债：新疆债 国债：
7、国债（10） 、国债（9） 、国债（3） 对于属于同一大类的债券，他们有着相似的变化趋势，比如企业债波动比较 大，国债与地方债变化相对比较稳定等。例如：对于国债类债券，其收盘价格均 是非平稳的序列，对他们一阶差分后，变成了平稳序列，由图可说明：10010210410610811011220072008200920102011GZ04-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.020072008200920102011DOP国债(10)8892961001041081/04/07 2/28/07 5/09/07 8/03/07 10/15/07 1/31/08 4/18/08 8/25/
8、08 11/13/08 4/03/09 11/06/09 1/06/10 2/26/10 4/14/10 5/31/10 7/19/10 9/01/10 10/27/10 12/10/10 1/26/11 3/18/11 5/06/11 6/22/11 8/05/11 9/21/11GZ05-8-6-4-2024681/04/07 2/28/07 5/09/07 8/03/07 10/15/07 1/31/08 4/18/08 8/25/08 11/13/08 4/03/09 11/06/09 1/06/10 2/26/10 4/14/10 5/31/10 7/19/10 9/01/10 10
9、/27/10 12/10/10 1/26/11 3/18/11 5/06/11 6/22/11 8/05/11 9/21/11DOP5国债(9)84889296100104200620072008200920102011GZ06-8-6-4-20246200620072008200920102011DOP6国债(3)而对于企业债，对非平稳的收盘价格进行对数处理之后，经过 ARCH LM 检 验可发现他们都具有 ARCH 效应；对于新疆债，经分析可发现它是平稳序列，由4此说明这样的分类法是有一定的合理性的。 假设每一类债券基本符合同一形式的模型，我们就可以在每一大类中选一种 债券作为代表分析建模
10、，之后将该类债中其余债券价格的时间序列代入所建的模 型中，对价格波动模型进行合理性分析，检验模型是否具有通用性。由于收盘价 格是各项指标中最能体现价格波动变化规律的，本文中的价格序列全部为债券的 收盘价格序列。5.价格波动模型5.1 企业债价格波动模型 5.1.1 ARCH 模型、GARCH 模型介绍 （1） ARCH 模型 ARCH 模型（自回归条件异方差模型） ，最早由恩格尔提出。模型的目的就是刻画预测误差的条件方差中可能存在的某种相关性；主要思想是：扰动项的条t件方差依赖于它的前期值。ARCH（q）模型的定义由均值方程（5.1.1）以及1t条件方差方程（5.1.2）给出：（5.1.1）t
11、ktkttxxyL110（5.1.2）22 1102 ptpttuL（2）GARCH 模型 在 ARCH 模型的基础上，博乐斯莱文将其发展成为 GARCH 模型， （广义自回归 条件异方差模型） 。GARCH 模型在条件方差的方程中加上了滞后项，从而体现出更 加灵活的滞后结构。GARCH（p,q）的方差方程定义为：（5.1.3）22 1122 1102 qtqtptpttuLL5.1.2 ARCH 模型分析 我们将三峡债作为企业债的代表，对其分析。选取 2007 年 1 月 4 日到 2011 年 11 月 3 日之间的 1157 个数据，通过 eviews6.0 软件进行分析。首先对三峡收
12、盘价格序列做单位根检验，得到如下图所示结果：图 5-1 三峡债收盘价格时间序列单位根检验 分析图中数据可知：检验统计量为-2.163260，大于显著性水平 10%时的临界 值-2.568051，可认为三峡债价格的时间序列为非平稳的。5对于非平稳序列，常常用用一种特殊的单位根过程随机游走模型描述， 所以本例进行估计的基本形式为：（5.1.4）tttsxsx1lnln其中为日三峡债收盘价格，是对日收盘价格数据取对数后的序列，tsxtsxln是随机误差项，为常数项。t对于该时间序列，为了减小误差，先对日收盘价格进行自然对数处理，进过 处理后的序列命名为 lsx 序列，利用最小二乘法估计（5.1.4）
13、式，通过 Eviews 软件求得：图 5-2 回归模型求解结果 即：（5.1.5）tttsxsxln990160. 0044961. 0ln1S.E.=(0,017243) (0.003766)t=(2.607470) (262.9539)对数似然值=4393.590 AIC=-7.597907 SC=-7.589165983584. 02R可以看出该方程的统计量很显著，拟合度也很好。图 5-3 OLS 回归方程残差图 图 5-4 OLS 回归方程残差统计图观察该回归方程的残差图（见图 5-3） ，可以发现波动表现出时变性、突变性 和集簇性的特点；观察残差统计图（见图 5-4） ，可以发现呈现
14、出明显的尖峰厚尾 特征。这些说明误差项可能具有条件异方差性。65.1.3 ARCH 模型检验 ARCH 本身不能使标准的 OLS 估计无效，但是忽略其影响可能会导致有效性 的降低。因此，对该模型进行 ARCH 效应的检验是很有必要的。检验一个模型的 残差是否具有 ARCH 效应，有两种方式：残差平方相关图检验和 ARCH LM 检验。 本文采取这两种方法分别检验。 (1) 残差平方相关图检验 计算(5.1.5)式的自相关系数 AC 和偏自相关系数 PAC，结果见图（5-5）：图 5-5 残差平方相关图 自相关系数和偏自相关系数不显著为 0，且 Q 统计量很显著，表明（5.1.5） 式的残差序列
15、存在 ARCH 效应。 （1） ARCH LM 检验 对（2）式进行条件异方差的 ARCH LM 检验，得到了在滞后阶数 p=3 的 ARCH LM 检验结果（见图 5-6）图 5-6 ARCH LM 检验统计图 此处 P 值为 0，拒绝原假设，说明式（5.1.5）的残差序列存在 ARCH 效应。5.1.4 建立 GARCH 模型 以上两种检验均表明（5.1.5）式的残差序列存在 ARCH 效应，故利用 GARCH（1,1）模型从新估计（5.1.5）式。图 5-7 三峡债 GARCH(1,1)估计结果 均值方程：(5.1.6)tttsxsxln994368. 0025789. 0ln17S.E
16、.=(0.012945) (0.002829) Z=(1.992171) (351.4777) 方差方程：（5.1.7）2 12 162739221. 0249869. 01065. 1tttS.E.=() (0.019138) (0.019929)71003. 2Z=(8.100107) (13.05643) (37.09190) =0.983562 对数似然值=4605.357 AIC=-7.959095 SC=-7.9372412R 方差方程中的 ARCH 项和 GARCH 项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有 所增加，同时，AIC、SC 的值均减小，这表明了 GARCH（1,1）模型能够更好地 拟合数据。方差方程中的 ARCH 项和 GARCH 项的系数都为非负，其系数之和为： 0.249869+0.739221=0.98909，小于 1
