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1、高中数学课程的主线之我见高中数学课程的主线之我见高中数学课程的主线及对其的理解高中的数学课程是一个整体，打好基础，首先要抓住贯穿高中数学课程的一些主要的东西，即主线。函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线。一、函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。（1）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时
2、间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。在日常生活中，有两种量常量和变量。在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。例如，在引入减法时，我们常常会使用这样的例子，5 加多少等于 9，即5+？=9。现在，在小学 5、6 年级，初步地形成方程的概念，这是对量认识飞跃的一个标志，对方程的认识也是一个很长的过程，把对方程的认识纳入到函数体系，这是克莱因思想的组成部分，是非常重要的。在近代数学
3、中，用算子理论认识微分方程，这两者本质上是一样的。从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。这件事在小学就开始做了。通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，例如，时间，路程、速度、加速度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系。有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化，又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变量之间都有着密切的依赖关系。这样的例子比比皆是。通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念函数关系。虽然这样的描述并不是十分严格，
4、但是这是认识函数关系的重要视角。有人认为这是对函数的初步认识，这种说法不完全，变量与变量的依赖关系，从一个方面，揭示了函数的本质。函数是一个变量与另一个变量之间的一座桥，学习了映射，会对“桥”有更深入的理解。 （2）在高中阶段，学习的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。我们在任何一个生活情景中，例如，邮局、加油站、机场等等，都会发现许多描述规律的函数关系。在其他学科，如物理、化学、生物、地理、社会、经济等学科中，描述规律的函数关系比比皆是。（3）在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学
5、定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量 x 和 y 联系起来了。（4）知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。我们先让学生认识一些具体函数的模型，例如，分段函数，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，我们引入了刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等基本的性质。单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。例如，简单的幂函数 y=x3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数 y=x3 的图形的基本形状以及它的变
6、化。周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。（5）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的
7、一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系” 。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。（6）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。当我们用函数的观点来看待方程的时候，由函数 y=f(x)所决定的方程是 y=f(x)=0，求方程的解就变成了思考函数图形与 x 轴的相交关系，变成了考虑函数的局部性质。能否运用函数整体的性质去讨论方程的求解问题呢？在高中课程中我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方程体现了这样一种思想：用函数的整体性质讨论函数的局部性质。具体
8、来说，在a,b上，给定一个连续函数，若 f(a)与 f(b)的符号不相同，那么函数图像会从（a, f(a)）点出发穿过x 轴到达（b, f(b)）点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处” 。不等式是高中必修课程中一个重要的内容，例如，一元二次不等式，简单的线性规划问题，用函数的观点看待这些问题，有助于更好的理解这些知识本身。在高中课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修 3、4 中的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过
9、这些内容的学习，更加深了对于函数思想的认识。（7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用，例如，群结构中的同态、同构；度量结构中的保距；拓扑结构中的连续、同胚；序结构中的保序、同构；等等。这些都是极其重要的映射。综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些
10、。我们学习数学是“线性序” ，但数学本身不是“线性的” 。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。为了在高中数学课程中贯穿这一主线，在教学时，应把握以下几点。（1）对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论。教师应该帮助学生在头脑中建立起几个重要的模型，并把这些留在头脑中。学生应该在头脑中留下几个具体的实际模型，比如，分段函数，以及基本的函数模型，比如，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以
11、及函数研究方法的理解。再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系，例如，指数函数的性质：a +=aa 。不严格地说，它把定义域中的加法运算变成了函数值的乘积运算。所以当a1 时，指数函数增长得很快的原因就在于此。（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画一个具体函数时，我们都要让学生在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函数的整体情况，这样的学习习惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以，我们常常说学习函数要体现数形结合。（3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起
12、来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。可以在教学中渗透数学建模的思想。（4）在学习与函数知识有关内容时，理解函数思想。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处” 。二、 “运算思想”是高中数学课程的主线之一 ， （1）运算思想是数学中最重要的思想之一。代数问题就是运用运算法则可以解决的问题。学生进入学校的第一课，就要学习认识数，进行数的计算。我们做过对数学理解的调查， “数学就是算” ，这是最多的回答， “运算”是数学教育最深入人心的内容和思想。对运算思想来说，运算对象和运算规律是最基本的东西。在中小学的数学教
13、育，有三次大的飞跃需要给与特别的关注。数和数的运算是中小学数学课程的最基本的内容；字母代替数，代数式的运算是一次重大的飞跃，它奠定了表示各种数学规律的基础，运用运算规律进行恒等变形构成学习、理解数学的基本技能；引入向量和有关向量的各种运算，这是又一次飞跃，形成了一个新的运算体系，其中的运算比实数要丰富得多。向量不仅是代数对象，也是几何的对象，从而向量成为联系代数和几何的一座“天然的桥梁” ，这为我们开辟了数学的一个新的天地。“运算”不仅自成体系，更重要的是它渗透到数学的每一个“角落” 。（2）从自然数、整数、有理数、实数、复数，构成了一个数系扩充的链。实际的需求是数系扩充的动力之一，保持运算的
14、封闭和保持基本运算法则成立是数系扩充的另一个动力。（3）字母代替数，字母构成的代数式，以及它们所保持的运算法则等，是呈现高中课程内容的基本载体。灵活的运用这些运算法则进行恒等变形，是掌握高中课程内容的基本技能。（4）向量进入中学，这是中学课程的一个重大的变化，向量是一个重要的运算对象，向量的加法、向量的减法是向量自身的运算，向量的数乘是两种运算对象的运算，向量与向量的数量积是一种新的运算形式，它们蕴含着一些运算的规律。从代数上来说，向量极大的丰富了运算规律，使得我们对运算的认识提高到一个新的水平。（V , R, + ,）构成了代数的新的运算模型，它是线性空间最生动的范例。(V， R，+，.，)
15、构成了代数与拓扑密切联系的模型，它是泛函分析中线性赋范空间最生动的范例。还要特别指出的是，尽管向量的内涵很丰富，但是，作为数学研究对象来说，它还是简单、易懂并且容易掌握的。用向量解决几何问题，充分体现了运算的作用。运算在研究其他数学问题中也发挥重要的作用。（5）在高中课程中，有两部分内容集中的介绍了运算：一部分是向量，包括平面向量和空间向量；另一部分是数系的扩充与复数。（6）在高中课程的其他内容中，也渗透了一些其他的运算对象和运算规律，例如，在指数、对数、三角函数等内容的学习中，蕴含着一些新的运算法则。掌握这些特殊的运算规律，是理解相关的数学概念的基础。（7）高中数学课程中，有各种各样的恒等变
16、形。这些恒等变形就是运用各种运算法则进行的。全面地梳理高中课程中的运算对象和运算法则是非常有意义的，比较不同运算对象、不同的运算法则，发现、思考它们之间的联系。例如，在不等式等的学习中，无论是证明，还是求解，都是在运用各种运算法则进行恒等变形，通过恒等变形把我们不会解的问题变成我们会解的问题。三、 “几何思想（把握图形） ”是高中数学课程主线之一（1）在这次数学课程标准研制过程中，几何是我们花费心思最多的内容之一。在数学课程中，几何是“图” “文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在把握图形的能力。把握图形的能力包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。 （2）几何课程的设计分为两部分，一部分是几何本身；另一部分是运用几何思想、把握图形的能力去思考其他的数学问题。重视几何内容本身是共识，但是，在学习其他数学内容时，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学，没有引起足够的重视。最近，我们听了很多课，最令我们感到遗憾的，教师不太喜欢“画图” ，讲解
