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1、1数列的递推与通项（一）数列的递推与通项（一）1若数列中，则 。 na2, 211nnaaana2若数列中，则 。 nannaaa21, 211na3若数列中，则的值是 。 nanaaann2, 211100a4若数列中，则 。 nannnaaa21, 111na5已知数列满足且，又， na121 nn naaa11annab1（1） 求证：是等差数列； （2）求的表达式。 nbna6已知数列满足且，又， na121nnaa11a1nnab（1）求证：是等比数列； （2）求的表达式。 nbna7已知数列满足且，又， na)2(2311naaannn3, 121aannnaab1（1）求证：是等
2、差数列； （2）求的表达式。 nbna8已知数列满足且，求和的表达式。 na) 1(1nSann11ananS9已知数列中，表示数列的前 n 项和，满足且，求的通项公式 nanS)2(1211nSSSnn n11a na。na10已知数列满足且，试探求的通项公式。 nannanS211a nana11*设函数的最小值为，最大值为，又，求和：*)(122 Nnxnxxynanbnnnbac4(求函数的值域) Cn=4n-114332211111nnnccccccccSLL(二)考点一：已知数列相邻两项的递推关系，求数列的通项公式考点一：已知数列相邻两项的递推关系，求数列的通项公式例例 1. 已知
3、数列,求. 11中naa 121(2)nnaannnna变式变式 1. 数列,求.11中naa 111(1)nnnananna2变式变式 2. 数列,求.12naa 中123 2 (1)n nnaangna例例 2. 数列,求.12naa 中121(1)(2)nnaannna变式变式已知数列，满足 a1=1， (n2)，则的通项 na1321) 1(32 nnanaaaa nana 例例 3已知数列满足求数列的通项公式； na* 111,21(N ).nnaaan na例例 4已知数列中，.求数列na11 2a 12nnaan na的通项；变式变式设为常数，且， 求0a1* 132()n nn
4、aanN na例例 5在数列中， ，其中求数列 na112nnaaa，1(2)2 ()nnnN0的通项公式； na例例 6在数列中，na11111,(1)2nnnnaaan（I）设，求数列的通项公式; （II）求数列的前项和n nabn nbnannS例例 7.已知数列的首项，求的通项公式；na13 5a 13 21n n naaa12n L，na变式变式 1已知数列满足，求数列的通项公式. na10aa112nnnnaa aa na例例 8.（06 江西 22）已知数列满足：a1，且 an，求数 na3 2113221（，）n-nnannNan列的通项公式； na变式变式 1. 在数列an中
5、，a1=1，an+1=，求 an.nn naa 1例例 9。 （10 全国）全国）已知数列中， .设，求数列的 na1111,n naaca51,22n ncba nb通项公式。变式变式 2已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中nN(1)证明数列lg(1+an)是等比数列； (2)求数列的通项； na变式变式 3.已知数列满足：，则 na110,121nnnaaaa na 考点二：已知数列相邻三项的递推关系，求数列的通项公式考点二：已知数列相邻三项的递推关系，求数列的通项公式3例例 1.（06 福建 22）已知数列满足求数列的通 na* 12211,3
6、,32().nnnaaaaa nN na项公式；变式变式 1：已知数列满足求 na* 12215521,().333nnnaaaaa nNna例例 2设数列的前项和为 已知nan,nS11,a 142nnSa（I）设，证明数列是等比数列 ； （II）求数列的通项公式。12nnnbaa nbna高考递推数列题型分类归纳解析高考递推数列题型分类归纳解析(三三)类型类型 1 )(1nfaann解法：把原递推公式转化为，利用累加法累加法(逐差相加法逐差相加法)求解。)(1nfaann例例 1. 已知数列满足，求。 na211annaann211na变式变式: 已知数列，且 a2k=a2k1+(1)K,
7、 a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,.11aan中（I）求 a3, a5；（II）求 an的通项公式.类型类型 2 nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为，利用累乘法累乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解。)(1nfaann例例 1:已知数列满足，求。 na321annanna11na例例 2:已知， ，求。31annanna23131) 1( nna变式变式:（2004，全国 I,理 15 ）已知数列an，满足 a1=1， (n2)，则1321) 1(32 nnanaaaaan的通项1 _na 1 2n n 类型类型 3 （其中 p，q 均为常数，） 。qpaann1)0)
8、1(ppq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法换元法转化为等)(1taptannpqt1比数列求解。例例:已知数列中，求. na11a321nnaana变式变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_ na111,23(1)nnaaanna4变式变式:（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分）已知数列满足 na* 111,21().nnaaanN（I）求数列的通项公式； na（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；12111*444(1) (),nnbbbb nanNL（）证明：*122311.().232nnaaannnNaaa类
9、型类型 4 （其中 p，q 均为常数，） 。 （或,其中n nnqpaa1)0) 1)(1(qppq1n nnaparqp，q, r 均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除同除以，得：引入辅助数列引入辅助数列（其中1nqqqa qp qann nn111 nb） ，得：再待定系数法定系数法解决。nn nqab qbqpbnn11例例:已知数列中，,，求。 na651a1 1)21(31 n nnaana变式变式:（2006，全国 I,理 22,本小题满分 12 分）设数列的前项的和， nan14122333n nnSa1,2,3,n g g g（）求首项与通项；（）设，证明：1a
10、na2nn nTS1,2,3,n g g g13 2ni iT类型类型 5 递推公式为（其中 p，q 均为常数） 。nnnqapaa12解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 满足 qstpts解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程nnnqapaa1221,aa na，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通02qpxx na21,xx21xx na项为，其中 A，B 由决定（即把和，代入1 21 1nn nBxAxa21,aa2121,xxaa2 , 1n，得到关于 A、B 的方程组） ；当时，数列的通项为，其1
11、21 1nn nBxAxa21xx na1 1)(n nxBnAa中 A，B 由决定（即把和，代入，得到关于 A、B 的21,aa2121,xxaa2 , 1n1 1)(n nxBnAa5方程组） 。 解法一（待定系数解法一（待定系数迭加法）迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。 na), 0(025312Nnnaaannnbaaa21, na例例:已知数列中，,，求。 na11a22annnaaa31 3212na变式变式:1.已知数列满足 na* 12211,3,32().nnnaaaaa nN（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；1nnaa na（III）若数列满足证明
12、是等差数列头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 nb12111*44.4(1) (),nnbbbb nanN nb2.已知数列中，,，求 na11a22annnaaa31 3212na3.已知数列中，是其前项和，并且， nanSn1142(1,2,),1nnSanaL设数列，求证：数列是等比数列；), 2 , 1(21LLnaabnnn nb设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。), 2 , 1( ,2LLnacnn n nc nan类型类型 6 递推公式为与的关系式。(或)nSna()nnSf
13、 a解法：这种类型一般利用与消去 )2() 1(11 nSSnSannn)()(11nnnnnafafSSanS或与消去进行求解。)2( n)(1nnnSSfS)2( nna例：例：已知数列前 n 项和. na2214nnnaS（1）求与的关系；（2）求通项公式.1nanana（2）应用类型 4（其中 p，q 均为常数，） ）的方法，上式两边同n nnqpaa1)0) 1)(1(qppq乘以得：12n22211 nn nnaa由.于是数列是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所以1214121111aaSanna2nnann2) 1(22212nnna变式变式:（2006，陕西,理,20头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头本小题满分 12 分)已知正项数列an，其前
