利用公式巧做整式乘法

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1、发表论文发表论文利用公式巧做整式乘法利用公式巧做整式乘法 王世明 整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤 其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中 各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算 就会简便易行。 一、先分组，再用公式例 1、计算：)(cbacba简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式运用加法交换律和结合律变形为；将另一个整式)(cba)(cba变形为，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可)(cba)(cba将其展开。解：原式=)(cba)(cba222222222

2、)2()(cabbacbcbacba二、先提公因式，再用公式例 2、 计算：)2)(24(yxyx简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的 x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数 2 出来，变为，则可利用乘法公式。)2(2yx 解：原式)2)(2(2yxyx222228)4(2yxyx三、 先整体展开，再用公式例 3、计算：) 12)(2(yxyx简析：两个多项式看似无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。 1)2(yx解：原式=)2(yx 1)2(yxyxyxyxyxyx24)2()2)

3、(2(22四、 先补项，再用公式例 4、 计算：) 13)(13)(13)(13(842简析：由观察整式，不难发现，若先补上一项，则可满足平方) 13( ) 13( 差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。解：原式) 13)(13)(13)(13)(13(21842) 13(21) 13)(13(21) 13)(13)(13(21) 13)(13)(13)(13(2116888448422五、先用公式，再展开例 5、 计算：)1011 ()411)(311)(211 (2222K简析：第一个整式可表示为，由简单的变化，可看出整式)211 (222)21(1 符合平方差公式，其它

4、因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。解：原式)1011)(1011 ()411)(411)(311)(311)(211)(211 (L201 1011 109 54 43 34 32 23 21L针对练习：1、计算：)2)(2(cbacba2、计算：)2)(24(yxyx3、计算：) 12)(2(yxyx4、 计算：) 12)(12)(12)(12)(12(16842(发表于数学学习报 2004 年第 24 期) 分式通分的技巧 王世明 一、分组通分例 1、计算：xyx yxyx yxyx yxyx 24352分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察 会发现第

5、一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加 减，然后再通分，能简化运算。解：原式)23(452 yxx yxyx yxyx yxyx 222244 xyxy yxxy yxyx yxyx 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合， 先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。 二、先约分再求值例 2、计算：969 362222 xxx xxxx分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定 不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。解：原式332 33 36 )3()3(3( )3()6(2xx xx xx xxx xxxx反

6、思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题 目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因 式分解后，先约分再进行计算就比较简单。三、逐步通分法例 3、计算：4214 12 11 11 xxxx 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔 细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想 要的结果.解：原式84442218 14 14 14 12 12 xxxxxx反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公 式，采用逐步通分法，从而使运算简便。四、整体通分法例 4、计算yxyxx2分析：我

7、们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可 以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yxy yxyx yxxyxyxx 22222 )(反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。 五、裂项相消，拆项通分例 5、计算：)2010)(2009(1 )2)(1(1 ) 1(1 ) 1(1 xxxxxxxxL分析：我们看到题目中每一个分式的分母是两个因式之积且两个因式之为 1，而分子又是一个定值 1，所以我们考虑逆用同分母分式的加减法则，将每一 个分式先拆成两项之差，前后相互抵消后再通分。解：原式)20101 20091()31 21()21 11()111()

8、1 11(xxxxxxxxxxL20101 20091 31 21 21 11 1111 11 xxxxxxxxxxL)2010)(1(2009 20101 11 xxxx反思：当分式比较复杂，而且按常规方法通分十分艰难时，这时看看题中 是否隐含着某些规律，当具有以上特征（每一个分式的分母是两个因数之积， 而分子又是一个定值时） ，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分。对应练习：1、计算：xxx x22 44 2122、112 aaa3、2222222bababa baba （发表于数学周报 2005 年第 15 期） 对凸四边形的一个性质的推导与应用对凸四边形的一个性质的推导与应用

9、 山东省利津县第一实验学校 王世明 257400 凸四边形具有这样一个性质，任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角 形的面积之积相等对这个性质的探究我们先从特殊的四边形入手，推导一般 性质再利用它解决问题 问题 1：正方形的对角线交点为，两条对角线把它分成了四个三ABCDO角形的面积分别为，我们易得，也可得4321,SSSS4321SSSS4231SSSS问题 2：矩形的两条对角线交点为，若，ABCDOAOB，面积分别为，试判断的关系，BOCCODDOA4321,SSSS4321,SSSS并加以证明分析：由于四边形是矩形，所以ABCDOCOA 又，的边上的高相同，所以，AOBBOCOCOA,2

10、1SS 同理，所以，也可得32SS 43SS 14SS 4321SSSS 4231SSSS问题 3：平行四边形的两条对角线交点为，若，ABCDOAOBBOC，面积分别为，试判断的关系，并加以证CODDOA4321,SSSS4321,SSSS明 分析：由于四边形是平行四边形，所以ABCDOCOA 又，的边上的高相同，所以，AOBBOCOCOA,21SS 同理，所以，也可得32SS 43SS 14SS 4321SSSS 4231SSSS问题 4：四边形的两条对角线互相垂直，交点为，若，ABCDOAOB，面积分别为，试判断的关系，BOCCODDOA4321,SSSS4321,SSSS并加以证明分析：

11、由于，垂足为，所以，BDAC OOBOAS211OBOCS212，则有ODOCS213ODOAS2144231SSSS问题 5：四边形的两条对角线交点为，若，ABCDOAOBBOC，面积分别为，试判断的关系，并加以证CODDOA4321,SSSS4321,SSSS明分析：设点到线段所在直线的距离为，点到线段所在直线的BAC1hDAC距离为，2hABOCD则，1121hOAS2221hOCS2321hOCS2421hOAS所以有4231SSSS归纳：任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等归纳：任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等 四边形的这一性质，揭示了四边形中

12、以对角线的交点为顶点的四个三角形 的面积之间的关系，应用四边形的这一性质，可以较容易地解决与四边形的面 积有关的一些问题，下面举几例说明 例 1、 已知,如图，在四边形中，对角线、交于点，ABCDACBDO,5AODS, ,求.6BOCS3:1:CODAOBSSABCDS四边形解：设则, aSAOB,3aSCODQBOCAODCODAOBSSSS306532a102aQ0a10a1033 a.10411四边形S例 2、四边形的对角线，交点为 O，, 若ABCDBDAC BDCBAC，面积分别为，试只用或只用AOBBOCCODDOA4321,SSSS31,SS表示四边形的面积 （2008 年42

13、,SSABCDS解法一： 已知，又，那么BDCBACDOCAOBABDDCA 当与不平行时，必相交于一点，ABCD 不妨设线段与的延长线交于点BACDE 已知，又，所以，BDAC DEBAECDEBAEC 则，所以，所以，DEAE BECE DCAB DOCAOB则31SS 由于有，所以，4231SSSS422 1SSS那么4242421432122SSSSSSSSSSSSADOCB（或） ；2 42)(SS 当与平行时，则与同底等高，有，ABCDABDBAC4121SSSS则，由于有，42SS 4231SSSS所以，312 2SSS3131231432122SSSSSSSSSSSS（或(）

14、2 31)(SS 解法二： 在和中，已知，又，那么AOBDOCBDCBACDOCAOB ABDDCA所以，则AOBDOCOCOB ODOA设点到线段所在直线的距离为，点到线段所在直线的距离为ABD3hBAC，4h设点到线段所在直线的距离为，点到线段所在直线的距离为CBD5hDAC6h由于，所以36421 21hODhOAS63 hh ODOA同理，那么54 hh OCOB36h h45h h已知，所以，即，BDAC ABDDACS SBACCDBS S1434SS SS 1223SS SS 整理得，所以有， 41324321SSSSSSSS)()(314312SSSSSS当时,有31SS 42SS 由于有，所以，4231SSSS312 2SSS那么（或(3131231432122SSSSSSSSSSSS） 2 31)(SS 当时，同理有31SS 4242421432122SSSSSSSSSSSS（或） 2 42)(SS 上面两个例题都是利用了任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的 面积之积相等这一性质解决的问题，请同学们也利用这个性质解决下面的题目。练习：已知：如图，在梯形中，,对角线、交于点A