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1、高三数学试卷（理科）第 1 页（共 13 页）20132013 年石景山区高三统一测试年石景山区高三统一测试数学（理科）数学（理科）本试卷共 6 页，150 分.考试时长 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效考试结束后上交答题卡.第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 4040 分）分）一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题列出的四个选项中，选出符合分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项题目要求的一项1设集合,，则等于（ ）2 |4Mx x2 |log1NxxNM IA2,2B 2C2 +，D2 +
2、，2若复数在复平面内对应的点在轴负半轴上，则实数的值是（ ）2( - )a iyaA 1B 1C 2D23将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 m，第二次出现的点数为 n向量=(m,n), =(3,6)，则向量与共线的概率为（ ）prqrprqrA 1 3B 1 4C 1 6D1 124执行右面的框图，输出的结果的值为（ ）sA3B2C1 2D1 3高三数学试卷（理科）第 2 页（共 13 页）5如图，直线 AM 与圆相切于点 M，ABC 与 ADE 是圆的两条割线，且,连接BDADMD、EC. 则下面结论中，错误的结论是（ ） A. B. 90ECACEMDMADBA C
3、. D.2AMAD AEAD DEAB BC6在的二项展开式中，的系数为（ ）251(2)xxxA10B10C40D407对于直线与抛物线，是直线 与抛物线有唯一:(1)l yk x2:4C yx1k lC交点的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要8若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件：P、Q 都在函数的图像上；P、Q 关于原点对称.)(xfy 则称点对P, Q是函数的一对“友好点对” （注：点对P, Q与Q , P看作同)(xfy 一对“友好点对” ）.已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对 )0(4)0(log)(22 xxxxxxf
4、A. 0B. 1 C. 2D. 3ACMBDE高三数学试卷（理科）第 3 页（共 13 页）第二部分第二部分（非选择题（非选择题 共共 110110 分）分）二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分 9直线与圆相交弦的长度为 2 sin =1=2cos10在ABC中，若,24Bba，则C 11. 在等差数列中，= -2013，其前 n 项和为，若=2，则的值na1anS1012 1210SS2 013S等于 12某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是 13如图，在矩形ABCD中，22ABBC，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
5、2AB AFuuu r uuu r ，则AE BFuuu r uuu r 的值是 14对于各数互不相等的整数数组（n 是不小于 3 的正整数） ，若对任意),(321niiii的 p，当时有，则称是该数组的一个“逆序”, 3 , 2 , 1nqqp qpiiqpii ,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数” ，如数组（2,3,1）的逆序数等于 2则数组（5,2,4,3,1）的逆序数等于_；若数组的逆),(321niiii序数为 n，则数组的逆序数为_),(11iiinnDEFCBA正（主）视图侧（左）视图俯视图322232高三数学试卷（理科）第 4 页（共 13 页）三、解答题共三
6、、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13 分）已知函数( )sin(2)cos26f xxx（）求函数的单调递增区间；( )f x（）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知,3( )2f A ，求ABC 的面积2a 3B16 （本小题满分 13 分）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/
7、立方米以上空气质量为超标石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示（）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率;（）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;（）从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求的分布列及期望.PM2.5 日均值（微克/立方米）21 6 37 59 60 3 85 6 104 7高三数学试卷（理科）第 5 页（共 13 页）17 （本小题满分 14 分）如图
8、，在底面为直角梯形的四棱锥中,，平PABCD/,90ADBCABCPD 面，ABCDAD 13AB 4BC （）求证：；BDPC（）求直线与平面所成的角；ABPDC（）设点在棱上，若EPCPEPCuuu ruuu r平面，求的值.DEPAB18 （本小题满分 13 分）已知函数,aR.xaxxfln1)(（）讨论函数( )f x的单调区间；（）若函数在处取得极值，对,恒成)(xf1xx (0,)2)( bxxf立，求实数的取值范围.b19 （本小题满分 14 分）设椭圆)0( 1:2222 baby axC的左、右焦点分别为，上顶点为A，在12FF、x轴负半轴上有一点B，满足，且2AFAB 1
9、12BFFFuuu ruuuu r（）求椭圆C的离心率；（）若过2FBA、三点的圆与直线033:yxl相切，求椭圆C的方程；（）在（）的条件下，过右焦点2F作斜率为k的直线l与椭圆C交于两点，线段的中垂线与x轴相交于点)0 ,(mP，求实数m的取值范围MN、MNAPECDBxyAOBF1F2高三数学试卷（理科）第 6 页（共 13 页）20 （本小题满分 13 分）给定有限单调递增数列且，定义集合nx)2,(nNn)1 (0nixi且.若对任意点，存在点使得,1),(njixxAji,NjiAA 1AA 2（为坐标原点） ，则称数列具有性质.21OAOA OnxP（）判断数列：和数列：是否具有
10、性质，简述理由.nx2 ,2ny3 , 1 , 1, 2 P（）若数列具有性质，求证：nxP数列中一定存在两项使得；nxjixx ,0jixx若，且，则. 11x02x1nx12x（）若数列只有 2013 项且具有性质，求的所有nxP11x23xnx项和.2013S高三数学试卷（理科）第 7 页（共 13 页）20132013 年石景山区高三统一测试年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分题号12345678答案BADADCAC二、填空题：本大题共二
11、、填空题：本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 个小题，共个小题，共 8080 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤分应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）解：（）( )sin(2)cos26f xxxsin2 coscos2 sincos266xxx1 分33sin2cos222xx133( sin2cos2 )22xx3 分 3sin(2)3x令+22+2232kxk5 分5+1212kxk函数的单调递增区间. 6 分( )f x5+()1212kkkZ，（）由，3(
12、 )2f A ，1sin(2)=32A题号91011121314答案37 1220132922382nn；高三数学试卷（理科）第 8 页（共 13 页）因为为内角，由题意知，所以AABC203A52333A因此，解得 8 分5236A4A由正弦定理，得， 10 分Bb Aa sinsin6b 由，由，可得 ，12 分4A3B62sin4C 13 分116233sin262242sabC 16 （本小题满分 13 分）解：（）记“当天 PM2.5 日均监测数据未超标”为事件 A,. 2 分243( )105P A（）记“这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件
13、 B, . 5 分11 24 2 68( )15CCP BC（）的可能值为0,1,2,3，；3 6 3 101(0)6CPC21 64 3 101(1)2CCPC9 分12 64 3 103(2)10CCPC3 4 3 101(3)30CPC其分布列为：1131601+2+3=6210305E 13 分17 （本小题满分 14 分）证明：（I）在直角梯形 ABCD 中，1,3ADAB所以，所以. 2 分2,2 3BDCDBDCD0123P1 61 23 101 30高三数学试卷（理科）第 9 页（共 13 页）又因为，所以ABCDPD 面PDBD由，所以PDBDDPCDBD 面所以4 分BDPC（II）如图，在平面 ABCD 内过 D 作直线 DF/AB，交 BC 于 F，分别以 DA、DF、DP 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系.由条件知 A（1，0，0） ，B（1，0） ，3设，则， 5 分PDa( 1,3,0),( 3, 3,)BDPCa uuu ruuu r由（I）知.BDPDC DBPDCuuu r 面就是平面的法向量，.(0, 3,0) ,(1, 3,0)ABDBuuu ruuu r设，ABPDC与面所成角大小为则7 分|33sin.2| |2 3DB AB DBABuuuu r uuu r u
