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1、.竞赛讲座竞赛讲座 2020- -排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理基础知识基础知识1排列组合题的求解策略（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除， 这是解决排列组合题的常用策略（2）分类与分步有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各 类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的 方法数，这是乘法原理（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法即先安排 好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求
2、插入到排好的元素之间（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ，然后与其它“普通 元素”全排列，然后再“松绑” ，将这些特殊元素在这些位置上全排列（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板 模型如将 12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔板，把球分成 4 堆，分别装入 4 个不同的盒子中的方法数应为，这也就是方程3 11C的正整数解的个数12dcba2圆排列（1）由的个元素中，每次取出个元素排在一个圆环上，,321naaaaALnr叫做一个圆排列（或叫环状排列） （2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（i
3、i）按照同一方向转换后仍是同一排 列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同， 才是不同的圆排列（3）定理：在的个元素中，每次取出个不同的元素进,321naaaaALnr行圆排列，圆排列数为rPr n3可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列在个不同的元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那mn 么第一、第二、第位是的选取元素的方法都是种，所以从个不同的元素中，nmm每次取出个元素的可重复的排列数为nnm.4不尽相异元素的全排列如果个元素中，有个元素相同，又有个元素相同，又有个元素相同n1p2psp（） ，这个元素全部取的排列叫做不尽
4、相异的个元素的全排npppsL21nn列，它的排列数是!21spppn L5可重组合（1）从个元素，每次取出个元素，允许所取的元素重复出现次的组npp, 2 , 1L合叫从个元素取出个有重复的组合np（2）定理：从个元素每次取出个元素有重复的组合数为：npr pnp nCH)1( 6二项式定理（1）二项式定理（） nkkknk nnbaCba0)(*Nn（2）二项开展式共有项1n（3）（）叫做二项开展式的通项，这是开展式的第rrnr nrbaCT 1nr 0项1r （4）二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等（5）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果是n2nnC
5、n奇数，则中间两项的二项式系数与最大21nnC21nnC（6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即LL531420 nnnnnnCCCCCC7数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数 学竞赛的命题者却对其情有独钟 （1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式； （2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合； （3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩； （4）综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关， 其实通过观察、分析题目的特征，联
6、想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决 例题分析例题分析 例 1数 1447,1005,1231 有某些共同点，即每个数都是首位为 1 的四位数，且每个 四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？.例 2有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数？例 3有个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结n2 对方式？例 4将个不同的小球放入个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多1nn 少种放法？ 例 5在正方体的 8 个顶点，12 条棱的中点，6 个面的中心及正方体的中心共 27 个 点中，共线的三点组的个数是多少个？ 例 6用 8 个数字 1,1，7,7，
7、8,8，9,9 可以组成不同的四位数有多少个？例 7用五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的EDCBA,颜色，共有多少种不同的涂色方式？ 例 8某种产品有 4 只次品和 6 只正品（每只产品可区分） ，每次取一只测试，直到 4 只次品全部测出为止求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？ 例 9在平面上给出 5 个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直， 过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？ 例 10。.8 位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有 多少种？ 例 11某城市有 6 条南北走向的街道，5 条东
8、西走向的街道如果有人从城南北角 （图点）走到东南角中点最短的走法有多少种？AB 例 12用 4 个 1 号球，3 个 2 号球，2 个 3 号球摇出一个 9 位的奖号，共有多少种 可能的号码？ 例 13将个相同的小球，放入个不同的盒子（） rnnr （1）有多少种不同的放法？ （2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？ 例 148 个女孩和 25 个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩 （只 要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的）例 15设，求1990n的值)333331 (211990995198899463422 nnnnnnCCCCCL例 16当时，的整数部分是奇数还是偶数？
9、证明你的结论*Nn)73( 例 17已知数列（）满足：L,3210aaaa00a), 3 , 2 , 1(211Liaaaiii求证：对于任意正整数，n是一次nn nnnn nnn nn nxCaxxCaxxCaxCaxp )1 ()1 ()1 ()(11 111 10 0L多项式或零次多项式例 18若（） ，求证：amr12)25(10 ,*aNmr1)( ama.例 19设的整数部分，求的个数数字8219)22015()22015(xx例 20已知（）求的个位数字ba2)21 (100Nba,ab例 21试证大于的最小整数能被整除（） n2)31 ( 12nNn例 22求证：对任意的正整数，不等式nnnnnnn) 12()2() 12(例 23设，且求证对于每个，都有Rba,111baNn1222)(nnnnnbaba
