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哈密顿-凯勒定理的应用2012

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哈密顿-凯勒定理的应用2012_第1页
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凯勒-哈密顿定理的证明与运用题 目 : 凯勒 -哈密顿定理的应 用 学 院 : 数 学与统计学院 姓 名 : 刘燕妮 班 级 : 09 数应3 班 学 号 : 291010321 - 1 -目目 录录一一 定定理理内内容容 2 2二二 定定理理证证明明 2 2- -3 3三三 定定理理运运用用 2 2- -5 51 1 在在证证明明当当中中的的运运用用 3 32 2 计计算算多多项项式式的的值值 3 33 3 计计算算矩矩阵阵的的高高次次幂幂 4 44 4 求求矩矩阵阵的的逆逆 4 45 5 求求矩矩阵阵的的最最小小多多项项式式 5 5参参考考书书目目与与文文献献 6 6- 2 -凯凯勒勒 - -哈哈密密顿顿定定理理的的证证明明及及其其运运用用摘 要: 在处理矩阵问题时,利用特征理论是一大方法.哈密顿-凯莱定理揭示了方阵和它对应的特征多项式之间的关系,是特征多项式所具有的一个重要性质. 除在理论上极为重要外 ,对解决某些具体问题也有独特 的用处. 结合实例 ,介绍了哈密顿-凯莱定理的证明及其在证明及求方阵的逆阵、方阵的高阶幂中以及最小多项式;逆矩阵的应用. 关 键 词: n 阶矩阵,特征多项式,哈密顿—凯莱定理,最小多项式,逆矩阵,方正的高阶幂、一、哈密顿哈密顿-凯勒定理内容凯勒定理内容设 A 是数域 P 上的 n 阶矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=|λE-A|= λn+a1λn-1+…+an-1λ+an则 A 的多项式 f(A)为零矩阵。

二、哈密顿哈密顿-凯勒定理的证明凯勒定理的证明证明:证明:设 B(λ)是 λE-A 的伴随矩阵,则由行列式的性质 B(λ) (λE-A)= f(λ)E,因为 B(λ)的元素是|λE-A|的各个代数余子式,都是 λ 的多项式,次数不超过 n-1.则 B(λ)可以写成 B(λ)=λn-1B0 +λn-2B1…+Bn-1 其中 B0B1B2…Bn-1都是 n*n 的数字矩阵.设 f(λ)=|λE-A|= λn+a1λn-1+…+an-1λ+an则 f(λ)E=Eλn+Ea1λn-1+…+Ean-1λ+Ean ⑴- 3 -B(λ) (λE-A)=(λn-1B0 +λn-2B1…+Bn-1 ) (λE-A) ⑵由⑴⑵可得B0=E B0An = EAn=AnB1-B0A=a1E B1 An-1 - B0An = a1 An-1B2-B1A=a2E ⑶ B2 An-2-B1 An-1 = a2 An-2 ⑷…… ……Bn-1-Bn-2=an-1E Bn-1A-Bn-2 A2 = an-1 A-Bn-1A=anE - Bn-1A= anE以 An, An-1,……,A,E 分别右边乘⑶的第一式,第二式,…,第 n+1 式得到⑷,再将(4)中的 n+1 个式子加起来,得到 f(A)=0.三三 定理的运用定理的运用1、、 定理在证明当中的应用定理在证明当中的应用【例】 若 n 阶方正的特征值全为零,则必有某些自然数 k,使得 A 的 k 次方为零.证明:因为 A 的所有的特征值均为零 A 的特征多项式就为 f(λ)=λn. 由哈密顿定理,f(A)=An=0 所以比存在自然数 k,使得 Ak=0.2、、定理在计算多项式的值定理在计算多项式的值.【例】设 A= 1 -33 -1 计算 A4-2A3+11A2-15A+ 29E.解:A 的特征多项式为 f(λ)=|λE-A|= λ-1 λ+3 =λ2+8λ-3 λ+1 则由哈密顿凯勒定理,f(A)=A2+8=0令 g(λ)=λ4-2λ3+11λ2-15λ+ 29.=(λ2-2λ+3)(λ2+8)+λ+5g(A)=(A2-2A+3)(A2+8)+A+5E- 4 -=A+5E= 6 -3 3 -4 3、、计算矩阵的高次幂计算矩阵的高次幂【例】设矩阵 A= 1 0 -1 ,计算 A100.0 ω 2½ 0 0 ω2 解 : 由 已 知A 的 特 征 多 项 式 为f(λ)=|λE-A|=(λ-1) (λ-ω) (λ-ω2)由哈密顿凯勒定理 A3=E则 A100=(A3)33*A=A= 1 0 -1 0 ω 2½ 0 0 ω2 4、求矩阵的逆、求矩阵的逆说明:若说明:若 A 可逆,则它的特征多项式的常数项为可逆,则它的特征多项式的常数项为 an=(-1)n由哈密顿凯勒定理由哈密顿凯勒定理 f(A)= An+a1An-1+……+an-1A+an=0 所以所以-((1/an n))( (An-1+aAn-1+……+an-1)*A=E 从而从而 A-1=-((1/an n))( (An-1+aAn-1+……+an-1)【例】设矩阵 A 为 1 -1 1 求 A-11 1 02 1 1A 的特征多项式为 f(λ)=|λE-A|=λ3-3λ2+2λ+E由哈密顿凯勒定理 A-1=A2-3A+2E = 1 2 -1 -1 -1 1 -1 -3 2 - 5 -5 求矩阵的最小多项式求矩阵的最小多项式 3 1 0【 例 】 设 矩 阵A = 0 3 0 , 求 矩 阵 的 最 小 多 项 式0 0 3解:矩阵的特征多项式为 λ-3 -1 0 =(λ-3)30 λ-3 00 0 λ-3 最小多项式可能为(λ-3)、 (λ-3)2、 (λ-3)3 通过计算 A-3E ≠0, (A-3E)2= 0 所以最小多项式为 m(λ)=(λ-3)2结束语结束语本文介绍了哈密顿凯勒定理的内容及其一些应用,在解决实际问题的过 程中,还要做到举一反三,灵活应用,这对解题能力的提高大有裨益。

6 -参考文献参考文献[1]魏献祝. 高等代数[M] 上海,华东师范大学出版社,1998. [2]邱维生. 高等代数(下册) [M] 北京 高等教育出版社,2001. [3]杨子胥.高等代数习题集(修订版下册) [M] 济南 山东科学技术出版 社,2002. [4]黄有度 狄承恩 矩阵论及其应用[M] 合肥 中国科学技术出版社 1997.[5]胡海清 线性代数解题分析[M] 长沙 湖南科学技术出版社 1987.[6 王萼芳,石生明 高等代数[M] 高等教育出版社 2003. [7 张禾瑞 郝锐新 高等代数 [M] 高等教育出版社 2007.。

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