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1、带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线陈升科 高中物理中介绍了速度选择器，速度选择器两极板间有正交的匀强电场和匀强磁 场，带电粒子在速度选择器中的运动实际上是在正交的匀强电场和匀强磁场中的 运动带电粒子垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，且速度大小等于 电场强度跟磁感强度之比（）（称（）为选择速度，用 表示），将做匀速直线运动如果带电粒子的速度大小不等于选择速度或偏离垂 直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，将做什么运动，其运动轨迹怎样? 一、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动方程 设空间有正交的匀强电场和匀强磁场（下称电磁场），电场强度矢
2、量和磁感 强度矢量分别为，有一个电量为、质量为的带电粒子从坐标原点以初速射入电磁场 中初速度矢量为，带电粒子射入电磁场后， 在某时刻的速度矢量为带电粒子在此时刻受到的电场力矢量为，受到的磁场力（洛伦 兹力）矢量为 0 0 带电粒子在电磁场中的动力学方程为 动力学方程的三个分量式分别为， ， 0 令 （），由方程得 （1） 式对时间微分得加速度的方向分量（1） 将上式代入式，并令（）， 得 0此微分方程的通解是（）， 它可改写为 （） 式对时间微分得带电粒子在电磁场中运动时的加速度的方向的分量 （）， 将式代入式得速度的方向的分量（）， 式对时间微分得加速度的方向的分量（）， 式对时间积分得速度
3、的方向的分量 、式分别对时间积分得带电粒子在电磁场中运动的运动学方程的三个 分量 （）（）， （）（）， 以上三式中、和均为积分常数，可用带电粒子射入电 磁场时的初始条件确定由、两式得，带电粒子初始加速度在方向和方向的分量分别为（），（）将以上两式分别代入、两式得 ， ，解得积分常数 A 的大小等于带电粒子的初速度沿方向以选择速度做匀速直线运动 的相对速度的大小称（）为“幅”，称积分常数 为初相，它有三种 情况若，/（），若，0，（2）， 0，（2），若，（） 将带电粒子初速度分量代入式得积分常数将带电粒子射入电磁场时的初始坐标0，0，0 代入三式得积分常数C，C（）（1）（），0带电粒子在正
4、交的匀强电场和匀强磁场中运动的运动学方程为（）（）（），（1）（）（）（）， 式中的 A 和 由、两式确定带正电的粒子原先静止在坐标原点，在电场力和磁场力作用下开始运动，带 电粒子初速度的三个分量都为零由、式得，0带电粒子运动轨迹的三个参量方程为（），（）（1），0二、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动图象带电粒子运动轨迹在平面内，如图 1 中“0”曲线如果粒子带负电， 0，参量方程不变，而参量方程的符号相反，带负电粒子的运动轨迹跟 带正电粒子运动轨迹关于轴对称图 1带电粒子（以下只讨论带正电）由坐标原点，沿方向，以不同速度射入电 磁场它们的入射初速度只有方向分量它们的幅（）和初相 的值如下表
5、中所示初速度 100511523幅 210500512初相 0000带电粒子入射初速度分量的大小以选择速度对称（如 05 跟 15对称）时，它们的幅相等，初相差为它们的运动轨迹都在 平面，依次如图 1 中“1”、“0”、“05”、“1”、“15”、“2”、“3”曲线所示带电粒子由坐标原点射入，初速度既有方向分量，又有方向分量设 方向分量等于 1 倍选择速度，它在电磁场中运动轨迹的参量方程 和如、两式，0轨迹在平面内，如图 2 所示，图中“0”、 “1”、“2”分别表示0、2时粒子的运动轨 迹带电粒子由坐标原点射入，初速度有三个方向的分量它在电磁场中运动轨 迹的参量方程由、三式确定运动轨迹在同一
6、平面内，轨迹跟如图 1 和 如图 2 所示轨迹相似，只是轨迹平面绕轴向纸外或纸内转过 （z）角度图 2三、带电粒子在正交匀强电磁场中运动轨迹的分析、三式和、三式表明带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动是以速度做匀速直线运动和以（）为半径、 为 角速度的匀速圆周运动的合成我们知道，一轮子在水平地面匀速滚动时，轮子 上各点的运动是轮心的匀速直线运动和绕轮心的匀速圆周运动的合成轮子上各 点的运动轨迹是摆线，带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹也应 是摆线现有像火车轮那样的塔轮，大轮半径是小轮半径的两倍，如图 3 所示小轮 在水平轨道上匀速滚动塔轮轮心做速度为的匀速直线运动，塔 轮的角
7、速度 （）图 3图 4初时刻大轮跟轨道接触点点的初速度为零，小轮最高点 B 点的初速度为 2这两点的运动轨迹如图 4 所示如果将 B 点运动轨迹向下平移 2，这 两点运动轨迹就是图 1 中的“0”和“2”两条带电粒子在电磁场中运动轨迹 初始时刻小轮最高点点有 3水平向前的初速度，大轮最低点点有 水平向后的初速度小轮上 E 点和 F 点在同一条竖直直径上，到轮心 的距离都为（2），E 点有 15水平向前的初速度，F 点有 05 水平向前的初速度这四点的运动轨迹如图 5 所示如果 C 点轨迹向下平移 3，D 点轨迹向上平移，E 点轨迹向下平移 15，F 点轨迹向下平移 05，其运动轨迹就是图 1
8、中“3”、“1”、“15”和“05”四条带电 粒子在电磁场中的运动轨迹图 5图 6 中，初时刻塔轮轮心在塔轮上的 P 点到轮心的距离，到水平轨道的距离2，圆心角 （34）A 是塔轮瞬时转轴图 6可以求得 P 点的初速度，它的方向分量2，方向的分量，P 点的运动轨迹如图 6 中曲线所示将 P 点的运动轨 迹向下平移 2，就是图 2 中曲线“2”所示的带电粒子在电磁场中的运动轨 迹塔轮上点（跟坐标原点 O 重合）、S 点的运动轨迹分别跟图 2 中“1”、“0”两条曲线所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹相对应如果塔轮在水平轨道上匀速滚动，轨道又在平面内沿轴匀速移动， 移动过程中保持轨道跟轴平行，塔轮上的点的运动轨迹跟初速度有方向分量 的带电粒子在电磁场中运动轨迹相应带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中 运动跟匀速滚动的塔轮上的点的运动相似，运动的轨迹为摆线
