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1、第二章第二章 解析函数解析函数第一节第一节 解析函数的概念及哥西解析函数的概念及哥西-黎曼条件黎曼条件重点：复变函数可微的充要条件，重点：复变函数可微的充要条件，C-R 条件，可微和解析的区别条件，可微和解析的区别一一 导数的定义导数的定义定义定义 2.1. 设函数在区域上有定义，且及均属于，( )wf zDzzzD如果2.1 0()( )lim zf zzf z z 存在，则称此极限为函数在点的导数，记为或. 这时称函数( )f zz( )df z dz( )fz在点可微.( )f zz例例 1. 在复平面上每点均可微，且.( )nf zz1nndznzdz事实上，对固定的点，有 z.121
2、100()(1)limlim()2nn nnnnzzzzzn nnzzzznzz L例例 2. 在复平面上均不可微.( )f zz事实上，.zzzzzzz zzz 当时，上式的极限不存在. 因为当取实数而趋于 0 时，它趋于 1，当0z z取纯虚数而趋于 0 时，它趋于.z1函数在一点可微，则它在该点必连续，反之不一定正确. 例如函数，由，知它在复平面( )f zz 000lim()lim ()lim()( ) zzzf zzzzzzzf z 上处处连续，但由例 2 知它处处不可微.若函数在区域上点可微，则其和，差，积，商（要求分母( ),( )f zg zDz不为 0）在区域上点可微，且有如
3、下的求导法则：Dz， ( )( )( )( )f zg zfzg z， ( )( )( ) ( )( ) ( )f z g zfz g zf z g zg.2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0)( ) ( )f zfz g zf z g zg zg zg z二二 哥西哥西-黎曼条件黎曼条件现在，我们来研究复变函数在点可微的必要条件和充分条件.( )f zz函数在一点可微，也就是说，( )( , )( , )f zu x yiv x y. 2.2 0()( )lim( ) zf zzf zfzz 令，其中,()( )zxi yf zzf zui v ，(,)( , )uu xx yy
4、u x y ，(,)( , )vv xx yyv x y 则前式变为. 0 0lim( ) x yui vfzxi y 因为无论按什么方式趋于 0，(2.2)式总是成立的.可先让zxi y 即变点沿平行于实轴的方向趋于点，此时(2.2)成为0,0,xy zzz. 00limlim( ) xxuvifzxx 于是知道必存在，且,uv xx 2.3( ).uvfzixx同样，让即变点沿平行于虚轴的方向趋于点，此时(2.2)0,0,yx zzz成为. 00limlim( ) yyvuifzyy 于是知道必存在，且,uv yy 2.4( ).vufziyy比较(2.3)和(2.4)得到2.5,.uvu
5、v xyyx 这是关于及 的一组偏微分方程，称为哥西-黎曼条件（Cauchy-Riemann） ，uv记为 C-R 条件. 公式（2.5）也称为 DAlembert-Euler 公式，是复变函数中的最重要的公式之一. 总结上述讨论，得到下述定理：定理定理 2.1 函数在区域上点可微的必要条( )( , )( , )f zu x yiv x yD( , )x y件是: 的偏导数在点存在，且满足 C-R 条件( , ), ( , )u x y v x y,xyxyu uv v( , )x y（2.5）.注注：定理 2.1 给出的是函数在一点可微的必要条件，所以凡是在一点不满足上述条件的函数在该点不
6、可微.例如，这里. 由于偏导数( )f zz,ux vy 1,0,xyuu0,1,xyvv 虽然存在，但是处处不满足 C-R 条件，所以函数处处不可微，这同例 2 一致.但是，定理 2.1 给出的条件并不是充分的.例例 3. 函数在点满足定理 2.1 的所有条件，但在点( )f zxy0z 0z 不可微 事实上. 于是,0uxy v00(,0)(0,0)(0,0)lim0(0,0),(0,)(0,0)(0,0)lim0(0,0),xxyyyxuxuuvx uyuuvy 所以函数在点满足定理 2.1 的所有条件. 但是( )f zxy0z ()(0)x yfzf zxi y 当沿射线趋于 0 时
7、，上述比值为与有关的值，从而函zxi y yk x k数在点不可微 0z 现在，我们把定理 2.1 的条件适当加强，就得到函数可微的充要条件.定理定理 2.2 函数在区域上定义，则在( )( , )( , )f zu x yiv x yD( )f z可微的充要条件是在点处可微且满足 C-R 条件. zxiy( , ), ( , )u x y v x y( , )x y同时. 2.7( )xxxyyxyyfzuivuiuvivviu证明证明 必要性：设则在可微，则( )f zzxiy( )( )f zfzzz 其中是随而趋于零的复数. 若令，则上式变为0z ( )fzabi，12()ui va
8、xb yi b xa yi 其中，它们是对的高阶无穷小. 比12Re(),Im()zz22zxy较后得到，1ua xb y .2vb xa y 由二元实函数的微分定义，知道函数在点处可微且满足( , ), ( , )u x y v x y( , )x y（C-R 条件）.,xyyxuav ubv 充分性：当定理的条件满足时，在点处有全微分，所以( , ), ( , )u x y v x y( , )x y，1xyuuxuy ,2xyvvxvy 式中及是比高阶的无穷小. 再由 C-R 条件，可令1222xy2.6,xyyxuvuv 于是就有1212()()()fui vxyixyixi yi 即
9、.12()ifizz令，并注意到0z ，121212220i zzxy所以 也就是0lim(),zfiz .( )xxfziuiv结合（2.6）式也就得到（2.7）式. 注意注意：复变函数导数的定义，虽然形式上与实变函数导数的定义一样，但实质上有很大的不同.实变函数可微这一条件比较容易满足，其变量只沿实x轴趋于零.而复变函数可微的条件要苛刻得多，它要求当以任意的方式趋于零z时，()( )f zzf z z 都趋于同一个极限，即不但要求复变函数的实部及虚部可微，而且要求它们用C-R 条件联系起来.三三 解析函数的定义解析函数的定义定义定义 2.2 如果函数在区域上处处可微，则称是区域上的解析(
10、)f zD( )f zD函数，或称在上解析; 函数函数在闭区域上解析是指它在包含( )f zD( )f zD的某个区域上解析；函数函数在某点解析是指它在该点的某一个邻域内D( )f z处处可微.如果在点不解析，则称为的奇点.( )f z0z0z( )f z注意：解析的概念是“片”的概念，可微是“点”的概念，只有当可导的点连成片时，我们才称函数是解析的.由定理 2.2 不难得到函数解析的充要条件定理定理 2.3 函数在区域上定义，则在区域上( )( , )( , )f zu x yiv x yD( )f zD解析的充要条件是在区域上可微且处处满足 C-R 条件.( , ), ( , )u x y
11、 v x yD例 4设，试说明是处处解析的函数，( )cossinxxf zeyiey( )f z且.( )( )fzf z解：解：在这里，当然它们处处可微.简单计算一下有cos ,sinxxuey vey，cos,sinxx xyyxueyv ueyv 也即处处满足 C-R 条件，从而函数是处处可微的.并且.( )cossin( )xx xxfzuiveyieyf z形式上推演一下有，( )cossin(cossin )xxxxiyx iyzf zeyieyeyiye eee这就是我们后面将要定义的复指数函数.例 5设，说明函数在何处可微，何处解析？2222( )f zxyix y解：222 ,2 ,2,2xyxyux uy vxyvx y
