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1、1Proving Inequality by Difference Substitution MethodFU Le-xin 差量代换法证明不等式傅乐新(珠海市第一中学,519000) 不等式证明是数学竞赛中的一个热点内容,形形色色的代换法是证明不等式 的重要方法之一.本文结合实例介绍差量代换法证明数学竞赛中的一类不等式.对于两个实数与,可作差量代换,对于数学竞赛中的有些不等式,利abxab 用这个简单的代换给不等式“洗把脸” ，往往能使不等式的面貌焕然一新,从而 使不等式得到证明.先看个两个简单的例子.例 1 已知，求证：0kabc2()0kabc kabbcca证明:设，则、，akxbay
2、cbzcw xyzw0，,于是zyxwkzywazwbwc .20kabc kabbcca220wwxxxyzw而显然成立220wwxxxyzw例 2 在ABC 中,若,求证:1abc222142abcabc证明:设,则,，且xabcybca zcab0x 0y 0z ，, 于是2azx2bxy2cyz1xyzabc222142abcabc22222zxxyyzzxxyyz.222xyz而显然成立222xyz下面是一些更加复杂的竞赛题. 例 3 设， 是一个任意三角形的三边长，求证：abc （第 6 届IMO-2）222()()()3a bcab cabcabcabc 证法一：设，则,，且xa
3、bcybca zcab0x 0y 0z ，于是2zxa2xyb2yzc2223()()()abca bcab cabcabc 2=222 3222222zx xy yzzxxyyzyzx=222222168x yxyy zyzz xzxxyz=.608xyzxyyzzx yxzyxz证法二：不妨设，并令，0abcxabybczc则,，于是0x 0y 0z axyzbyzcz2223()()()abca bcab cabcabc = 22232xyzyz zxyzzxyzxzzxyz zyxzzxzyxzzyxzzyzyx2)()(3)(22 zyxzzxzyzxxyxzyzxzzyzzyx23
4、322222 zyxzzxyzzyxyxzyzzyx22222222xyzzxzyzxyyxyzzyyxxxzxyz2322222232222222322232222zyzxzyzzzyxyzxzxy.0223222232223yzzxzyzzyyxxxyz例 4 实数， 和正数，使得有三个实数根,abc32( )f xxaxbxc1x,，且满足:2x3x（I）；21xx（II）.3121 2xxx求的最大值332279acab （2002，全国高中数学联赛）解:令,，又,则3122txxxtu21xx123axxx 332279acab 33323327aabc32333327aaaabc3
5、273af123327333aaaxxx123231132 3222xxxxxxxxx 333 4t tt .222212929948uuuuu32183 3 832故当，原式取得最大值.3u 3 3 2例 5 已知，且，证明：，并确定等0abc3abc22227 8abbcca号成立的条件 （2002，中国香港数学奥林匹克试题）证明:设,则,xabybczc0x 0y 0z ,于是axyzbyzcz233abcxyz22227 8abbcca2232823xyzyzyz zz xyzxyz2232232333222222810188272510827126365427936xyz xxyzy
6、yzy zzzxxyzxyx yy zyzz xzxxyz3322222201746112717818xzxyx yy zyzz xzxxyz4由,可知0x 0y 0z 显然成立.3322222201746112717818xzxyx yy zyzz xzxxyz等号当且仅当即时成立0xyz3,02abc例 6 已知，求证：0xyz222 222x yy zz xxyzzxy（第 31 届 IMO 预选题）证明:设,则,axybyzcz0a 0b 0c ,于是xabcybczc222 222x yy zz xxyzzxy3330x y yzy z zxz x xy 3330abcbc bbcc abcabc a32523234432222233333668a bbb ca babb cb cab ca b cab c.32232330a bca bcc aabc由,可知0a 0b 0c 32523234432222233333668a bbb ca babb cb cab ca b cab c显然成立.32232330a bca bcc aabc参考文献：1 单 墫 数学竞赛研究教程M南京：江苏教育出版社,2001.2 胡大同，陶晓永 数学奥林匹克M北京：北京大学出版社,1991.3 第 5 届中国香港数学奥林匹克(2002)J.中等数学增刊,2004.
