《对称美与物理学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对称美与物理学（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、对称美与物理学对称美与物理学陈熙谋 生活中的对称与不对称人类在长期的保存个体、繁衍种族这种极为低下的生产水平和生活水平的斗争中不断发展；随着生产水平和生活水平不断提高，逐渐发展起对美和美感的追求，并逐惭开始去思考美和探索美。对称性就是人类对美的思考和探索之一。人们在自己的实践中相继发现了一些能引起自己欢快愉悦感受的因素，把它们称作具有对称性，即具有对称性的形体是美的。例如花朵，一朵有 5 个花瓣的花绕它的轴旋转一周，有 5 个位置看上去是完全一样的，它给人以匀称的感受；一个圆形则旋转任意的角度保持形状不变，它具有更大的旋转对称性。又例如人体或一些动物的形体一边与另一边完全相同，可以折叠重合，它
2、具有左右对称，它也给人以匀称和均衡的感觉。再例如竹节或串珠，平行移动一定的间隔，图形完全重复，它具有平移对称性，它给人以连贯、流畅的感受。久而久之，这些对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中。你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到。天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子。这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严，但却也显得有些平淡、单调、缺乏生机和妙趣横生，这是因为对称性并没有包揽美的全部。人们发现，美除了对称之外，还需要
3、蜿蜒曲折、错落有致、此起彼伏，美是对称与不对称结合的表现。你看那起伏于山峦间蜿蜒曲折层层叠起的长城峰火台构成的美景不是给人以宏伟、博大、气势磅礴而又峰回路转、巧夺天工的美的感觉吗！美更是现代人的追求。美吸引着各行各业的人去创造美好的人生，享受美好的生活。物理学中的形体对称性物理学的研究中也注意到形体上的对称性。形体上的对称性常常使得我们可以不必精确地去求解就可以获得一些知识，使问题得以简化，甚至使得某些颇难解的问题迎刃而解。例如一个无阻力的单摆摆动起来，其左右是对称的，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与右边摆边的高度一定是相等的，从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右
4、摆到最高点的时间，平衡位置两边等当位置处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的，等等。再例如一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一边的电阻是 r，在这张方格子网络的中间相邻格点连出两条导线，问这两条导线之间的等效电阻是多少？这个问题看上去似乎很难求解，它涉及到无穷多个回路和无穷多个节点，要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程，难以求解。然而这一无穷的方格子网络具有形体上的对称性，利用对称性分析，求解变得相当简单。设想用一根导线连接到一个格点，通以电 I，电流从网络的边缘流出，由于从该格点向四边流过的电流具有对称性，因此流过与该可知点连接的每一边的电流必定是 I/4。再设想电流
5、I 从网络的边缘流入，再从网络中心的一个格点上连接的一条导线从上流出，根据同样的对称性分析，流过与该格点连接的每一边的电流也必定是 I/4。我们要求解的情形正是这两种情形的叠加，电流 I 从连接到一个格点的导线流入，从连到相邻格点的导线流出，而在网络边缘，两种情形流出和流入的电流相互抵消。结果在连接导线的两相邻格点之间的那条边上通过的电流是上述两种情形的叠加，即为I/2，这条边的电阻是 r，这意味剩下的电流 I/2 通过其它边，它相应的电阻应是 r，换句话说，从相邻格点来看，这一无穷方格子网络的等效电阻是两个阻值为 r 的并联，其等效电阻为 r/2。由此可以看出，对称性分析在物理学中非常有用，
6、一旦明确了具有对称性，问题常常变得简单可解。在物理学中，还利用形体上的对称性来研究晶体的分类等物理问题，并取得丰硕的成果。物理规律的对称性对称性的概念是否能进一步拓宽呢？在这里，我们需要把对称性概念更加精确休。我们把事物的一种情况变化到另一种情况叫做变换（操作） 。如果一个变换使事物的情况没有变化，或者说事物的情况在此变换下保持不变，我们就说这个事物对于这一变换是对称的。这个变换称为事物的对称变换。在前面举的形体对称性的例子中，旋转就是一种变换操作，一个有 5 个相同花瓣的花朵（如香港特区区旗上的紫荆花）绕垂直花面的轴旋转 2/5 或 2/5 整数倍角度，完全是一样的，没有什么变化，我们就说它
7、具有 2/5 旋转对称性。一个圆形则旋转任意角度保持形状不变，它具有更大的旋转对称性。相反地，一个圆形边缘上有一个点或有些残缺，这个点或残缺就能区分旋转前后的情况，我们就说它不具有旋转对称性或旋转对称性是破缺的。从左到右或从右到左的变换称为镜向变换，人体和动物形体具有镜向变换不变性。而竹节或串珠则具有空间平移不变性。某一对称性，即某一变换下的不变性，粗浅而形象地看，就是换一角度或换一场合来观察事物保持不变。在旋转对称性中，就是换一方向来观察，在镜向对称性中，是换到镜子里来观察，在空间平移对称性中，则是平移一位置来观察。在上面谈到对称性的时候，提到的“事物”不一定限指一个具体物件的形体，物理学家
8、更注意到物理规律的对称性。就拿牛顿定律来说吧，粗浅而形象地说，从不同的方向看，物体的运动都遵从牛顿定律，牛顿定律具有旋转对称性；镜子里和镜子外物体的运动都遵从牛顿定律，牛顿定律具有镜向对称性（或空间反射对性） ；在不同的时间，昨天、今天或明天，物体的运动也都遵从牛顿定律，牛顿定律具有时间平移对称性，等等。其他已知的物理定律也都具有类似的情况。物理定律的这些对称性是偶然的吗？是无关紧要的吗，还是它意味着同物理定律本身有着某种更深刻更紧密的联系？这个问题在本世纪以前似乎没有注意到，本世纪开拓了许多新的物理研究领域，在探索其中的物理定律的研究中，这个问题变得突出地重要了。爱因斯坦把对称性推上主角19
9、05 年，爱因斯坦发表了一篇具有划时代意义的论文，建立了狭义相对论，论文的题目是“论动体的电动力学” 。论文中，爱因斯坦提出相对性原理和光速不变原理，在此基础上导出洛伦兹变换，得到一系列不同于牛顿力学的得要结论；不久，爱因斯坦又得出了质能关系。这些不同于牛顿力学的得要结论改变了人们的时空观，统一了力学和电磁学，解决了许多重要的物理问题，并且还带给人类释放核能。这样的巨大的实用价值。这一系列的具体结论无疑是十分重要的，人们常常仅仅是注重狭义相对论的这些具体结论，而忽略了爱因斯坦在思考问题和研究问题上对人类作出的巨大贡献，这就是他提示了物理规律上的一种新的对称性，并且认识到对称性是制约物理规律的利
10、器，从而把对称性推到物理基础研究的主角地位。这一新的对称性就是物理定律的洛伦兹变换不变性，即物理定律必须具有洛伦兹变换下的不变性，也就是说从不同惯性系来看物理定律的形式保持不变。从内容上说，它无非就是相对性原理内容的重复表述，似乎一点也不起眼；然而从探索物理基本定律的高度来看，洛伦兹不变性实在是对物理定律的形式所加的一条强有力的限制，物理定律的形式必须受到洛伦兹变换不变性的制约。爱因斯坦审查了电磁学的麦克斯韦方程组。它确实是洛伦兹不变性的；而牛顿定律不是洛伦兹不变性的，它必须改造以符合洛伦兹不变性的要求，对它的改造则获得相对论的力学定律。以后，爱因斯坦认识到狭义相对论还存在某些不足，它不过是必
11、然发展过程的第一步，一方面狭义相对论否定了一个特别优越的参考第（绝对静止的惯性系） ，但是它却肯定了一类特别优越的参考系，那就是惯性系，它比非惯性要更优越，其中的物理规律的形式特别简捷，这表明狭义相对论在运动的相对性上还不够彻底；另一方面狭义相对论在整个物理学中排除了超距作用，而牛顿引力定律的表述是超距作用的。作为力学重要研究课题的引力问题还不能在狭义相对认论中予以处理，因此需要发展一种把引力 问题纳入且能回答是否存在特别优越参考系的更为广泛的相对论。爱因斯坦在建立狭义相对论中领悟了对称性的威力，他就去寻找一种新的对称性来发展他的广义相对论。他终于从伽利略时代已经知道一切物体的重力加速度均相同
12、的物理事实中凝炼出这一新的对称性。爱因斯坦设想一个观察者在密封的升降机里做实验，一种情形是升降机静止在地面（地球看作是惯 性系）上，其中存在地球的引力场，任何物体的重力加速度均相等为 g；另一种情形是升降机远离一切物体，即处于没有引力场的地方，相对于某个惯性系以加速度 g 上升，它是一具非惯性系。在这两种情形下，观察者测得物体下落的加速度都是 g，他观察到的力学现象都相同，他无法断定他所在的参考系究竟是引力场的惯性系，还是并无引力的非惯性系。这表明引力场作用的效果可以等效地用加速参考系来描述，爱因斯坦把它称为等效原理。根据等效原理，非惯性系与引力场等价，非惯性系与惯性系没有原则性的区别。它们都
13、可以同样好地用来描述物体的运动，没有哪一个比另一个更优越，由此爱因斯坦把相对性原理进一步推广，一切参考系都是等价的，物理定律应该具有广义的时空坐标变换的不变性，而洛伦兹不变性只是它的一个特例。爱因斯坦在等效原理和广义协变原理的基础上建立起广义相对论。爱因斯坦的对称性制约物理定律的思想可以说是二十世纪物理基础研究方法上的一大飞跃，他为物理学基础树立了一个光辉的典范。二十世纪以前，在力学方面从古希腊时期开始，人们研究物体的运动、行星的运动、杠杆、滑轮，逐惭获得一些具体的结论，在同错误的斗争中获得的力学知识日益增多，经过漫长的历史发展，到十七世纪八十年代才由牛顿总结出力学的基本定律；在电磁学方面，也
14、是从古希腊时期开始，人们发现摩擦起电、磁石吸铁，以后研究静电感应、莱登瓶放电、电流的磁效应等等，积累了许多关于电荷相互作用、电流产生磁、磁产生电方面的知识，经过漫长的历史发展，到十九世纪六十年代才由麦克斯韦总结出电磁场的基本方程组。二十世纪以前的物理基础研究路线可以概括为从一些具体事物入手研究它们的具体规律，经过漫长的历史发展，积累到一定程度才由某个伟大的物理学家，总结前人研究成果得到该领域的物理基本定律，这些物理基本定律的广泛应用更加丰富了人们的认识，也包括对物理基本定律的认识。爱因斯坦的研究方法与此有着根本的不同，它不是从琐碎的具体问题入手，而是一开始就从研究物理定律应有的对称性入手，找出
15、这些对称性来，然后根据对称性确定物理定律的形式，这是二十世纪以来物理基础研究的路线。这一现代物理基础研究的路线充分体现了物理学中崇尚理性的威力，它不是从众多 具体而琐碎的事物中一点一滴地积累材料，然后再整理出事物的基本定律，而是一开始就从整体上寻找制约事物基本定律的普遍原则，从中得出事物的基本定律，这就大大地缩短了探索事物基本定律的历程，物理基础研究的高速发展与此不无关系。对称性与最小作用原理物理学中有一些规律属于基本定律，它们具有支配全局的性质，掌握它们显然是极端重要的。例如力学中的牛顿定律是质点、质点组机械运动（非相对论）的基本定律，电磁学的麦克斯韦方程组是电磁场分布、变化的基本定律，物理
16、学中还有另外一种基本定律的表述形式，这就是最小作用原理（变分原理） ，它可表述为系统的各种相邻的经历中，真实经历使作用量取极值。可以看出最小作用原理的表述形式与牛顿定律、麦克斯韦方程组的表述形式极不相 同。牛顿定律告诉我们，质点此时此刻的加速度由它此时此刻所受的力和它的质量的比值决定；麦克斯韦方程组告诉我们，此时此刻的电场分布由此时此刻的电荷分布以及此时此刻的磁场的变化决定，此时此刻的磁场分布由此时此刻的电流分布以及此时此刻的电场的变化决定，它们以微分方程 式的形式出现，指明所研究系统（质点或场）的状态在其真实经历中是如何随时间变化的。而最小作用原理则告诉我们，系统的各种可能的经历中，真实的经历总是使作用量取极值。牛顿定律和麦克斯韦方程组把注意力集中在每一时刻系统所处的状态，而最小作用原理则是总观系统的各种可能的 经历，并用作用量取极值挑选出真实的经历来。可以看出牛顿定律和麦克斯韦方程组比较具体细致，而最小作用原理则比较抽象含蓄。正是最小作用原理比较抽象含蓄，它概括的面更广泛，不仅适用于机械运动（非相对论）场合，可以导出牛顿定律；而且也适合于电磁场场合，可以导出麦克斯韦方程组；甚
