统计学大题(1-3)

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1、一一,根据以下数据，分别计算：算术平均数，中位数，众数，标准差。 抽取零售企业 105 家的销售收入如下表：月销售额（万元）分销店（个） 组中值40 以下 4060 Me 6080 80100 100120 120 以上1519 Mo 2620 141130507090110 130解：先求出组中值，如上表所示。 直接按计算器，可得：算术平均数=76.09标准差=30.65中位数=60+ （105/2）-3426*20=74.23 众数=60+（26-19）/（26-19）+（26-20）*20=70.77 附：计算器按法：开机mode2shiftmode1= 输入数据（30 shift ，1

2、5 M+ 50 shift ，19 M+ ）shift2 计算器即显示各个指标，1 为平均数，2 为总体标准差，3 为样本标准差 2，区间估计 求置信区求置信区间间的方法与步的方法与步骤骤: 第一步第一步 根据中心极限定理，构造一个含未知参数的分布 第二步第二步 对给定的置信度, 1- 查表得到标准分 z/2 第三步第三步 利用不等式变形,求出未知参数 1- 置信区间. nZxnZxnZx 222,:1的置信区间为总体均值就有给定置信度二，二，总总体均体均值值的区的区间间估估计计 正态总体，方差已知， （大、小)样本 例例 1，某种零件，某种零件长长度服从正度服从正态态分布，从分布，从该该批批

3、产产品中随机抽取件，品中随机抽取件，测测得其平均得其平均长长度度为为 21.4 mm。已知。已知总总体体标标 准差准差 =0.15mm， ，试试建立建立该该种零件平均种零件平均长长度的置信区度的置信区间间， ，给给定置信水平定置信水平为为 0.95。 。 解：已知解：已知 -N( ， ，0.152)， ， x2.14, n=9, 1- = 0.95， ， /2=1.96总总体均体均值值 的置信区的置信区间为间为 nZxnZx22, 915. 096. 14 .21,915. 096. 14 .21498.21,302.21结论结论: 我们可以 95的概率保证该种零件的平均长度在 21.3022

4、1.498 mm 间。当时，需要修正，%5Nn 1:2NnN nZx例例 2，某企，某企业业生生产产某种某种产产品的工人有品的工人有 1000 人，某日采用非重复抽人，某日采用非重复抽样样 抽取抽取 100 人人调查调查他他们们的当日的当日产产量，量，样样本本 人均人均产产量量为为 35 件，如果件，如果总总体体产产量的量的标标准差准差为为 4.5 件件,试试以以 95.45%的置信度估的置信度估计计平均平均产产量的抽量的抽样样极限极限误误差和差和 置信区置信区间间。 。 21:%45.951 , 5 . 4,35%5%1030100n,1000N:xxNn求已知 86.35,14.3486.

5、 035:286. 0110001001000 1005 . 42112%45.951:22xxxNnN nZZ件知由解正态总体，大样本，当方差未知时，以样本方差替代即可 总体比例的区间估计重复抽样 VS 不重复抽样 ： 1:),( :222NnN npqZpPnpqZpPpqspx大样本例：某企例：某企业业在一在一项项关于关于职职工流工流动动原因的研究中，从原因的研究中，从该该企企业业前前职职工的工的总总体中随机体中随机选选取了取了 200 人人组组成一个成一个样样本。本。 在在对对其其进进行行访问时访问时，有，有 140 人人说说他他们们离开离开该该企企业业是由于同管理人是由于同管理人员员

6、不能融洽相不能融洽相处处。 。试对试对由于由于这这种原因而离种原因而离 开开该该企企业业的人的人员员的真正比例构造的真正比例构造 95%的置信区的置信区间间。 。解：解：已知 n=200 ， 0.7 ,p = 0.95，/2=1.96764. 0 ,636. 0200)7 . 01 (7 . 096. 17 . 0) 1 ( 2nppZp结论：我们可以 95的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在 63.6%76.4%之 间。168.26% 180% 1.2890% 1.64595% 1.9695.45% 22Z99% 2.5899.73% 3T 分布： ：正态总体、当样本

7、容量 n30，总体标准差 未知时，用样本标准差 S 代替。自由度为（n-1） 置信区间为： nstx n 12例：某商场从一批袋装食品中随机抽取 10 袋，测得每袋重量（单位：克）分别为 789、780、794、762、802、813、770、785、810、806，如果袋装重量服从正态分布，要求以 95%的把握程度， 估计这批食品的平均每袋重量的区间范围及其允许误差。 21:%951136.171109 .2642 11 .79110806780789:2xnxxsnxx求已知L 36.803,84.77826.121 .791:26.1210136.172622. 22622. 2%951

8、:12110205. 012xnxnxnsttt克知由解三，三，样样本容量的本容量的计计算算 估估计总计总体均体均值时样值时样本容量的确定本容量的确定 ： ：根据均值区间估计公式可得样本容量 n 为 222 2 0Zn根据比例区间估计公式可得样本容量 n 为 （若总体比例 P 未知时，可用样本比例来22 2)1 (ppZn代替） 例：某超级市场欲估计每个顾客平均每次购物的金额，根据过去的经验，标准差大约为 160 元，现要求以 95%的 置信度估计每个顾客的购物金额，并要求允许误差不超过 20 元，应抽多少顾客作样本？nx :95. 01 ,20,160:求已知2462016096. 1160

9、96. 120:96. 195. 01:222 nnnzzx即知由解Q总总体方差未知体方差未知时样时样本容量的确定本容量的确定 例 1，某品牌电脑公司，准备将电脑销售市场转入拉美地区，事先派出有关人员到该地区查询资料，以便估 计一下该地区有电脑的家庭所占的比例。公司希望这一比例的估计允许误差不超过 0.05，且置信度为 95%。问：要抽取多大容量的样本？（事先对总体一无所知） 。 解解: 已知 =0.05，=0.05，Z/2=1.96，当 p 未知时用最大方差 0.25 代替 应抽取的样本容量为385)5 . 0()5 . 01)(5 . 0()96. 1 ()1 (2222 2ppZn例 2

10、，某企业对一批产品进行质量检查，这批产品的总数为 5000 件，过去几次同类调查所得的产品合格率 为 93%、95%、和 96%，为了使合格率的允许误差不超过 3%，在 99.73%的概率下应抽查多少件产品?651%307. 093. 0307. 093. 03%33%73.991:%73.991%,3,5000:2222nnnPQzznNpp知由本容量应用最大标志值计算样解求已知4.4. 假设检验假设检验 步骤：步骤：1 1、提出原假设和备择假设、提出原假设和备择假设 原假设原假设：有待检验的假设：有待检验的假设 备择假设备择假设：拒绝原假设后可供选择的假设。：拒绝原假设后可供选择的假设。

11、原则原则：（：（1 1） “不轻易拒绝原假设（不轻易拒绝原假设（2 2） 原假设总是与等号连在一起原假设总是与等号连在一起。假设的三种形式：假设的三种形式： （1 1）双侧检验：）双侧检验：0100:,:HH00H1H1H（2 2）左侧检验：如果指标越大越好以及要求指标是否明显降低。）左侧检验：如果指标越大越好以及要求指标是否明显降低。0100:,:HH0H1H0(3)(3) 右侧检验右侧检验: 如果指标越小越好以及要求指标是否明显增加如果指标越小越好以及要求指标是否明显增加0100:,:HH0H1H02 2、选择适当的统计量，并按照中心极限定理确定其分布形式、选择适当的统计量，并按照中心极限

12、定理确定其分布形式nsxtnsxZ nxZ000, 3 3、选择选择显著性水平，确定临界值。、选择选择显著性水平，确定临界值。 显著性水平显著性水平表示表示H H0 0为真时拒绝为真时拒绝H H1 1 的概率，即拒绝原假设的风险。的概率，即拒绝原假设的风险。 （ 总是与总是与 H H1 1相对应）相对应） 4 4、抽取样本，计算样本统计量，、抽取样本，计算样本统计量， 比较统计量与临界值的大小。比较统计量与临界值的大小。 5 5、作出统计结论和经营管理决策结。、作出统计结论和经营管理决策结。例题例题 1 1：（右侧检验）：（右侧检验）根据过去大量资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正态分布根据过

13、去大量资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正态分布 N(1020,100N(1020,1002 2) )， 现从最近生产的一批产品中随机抽取现从最近生产的一批产品中随机抽取 1616 件，测得样本平均寿命为件，测得样本平均寿命为 10801080 小时。试小时。试 在在 0.050.05 的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高? ?右側检验求小样本方差已知正态总体已知1020:,05. 0,1080,16,100,1020:0xn.,645.14 .21610010201080645.105.01020:,1020:10005.010

14、有显著提高即这批产品的使用寿命接受拒绝原假设知由解HHnxZZHH例题例题 2：（左侧检验）：（左侧检验） 一个生产宇航飞行器的工厂需要经常购买一种耐高温的零件，要求抗热的一个生产宇航飞行器的工厂需要经常购买一种耐高温的零件，要求抗热的 平均温度是平均温度是 1250，在过去，供货商提供的产品都符合要求，并从大量的，在过去，供货商提供的产品都符合要求，并从大量的 数据获知零件抗热的标准差为数据获知零件抗热的标准差为 150 ，在最近的一批进货中随机测试了，在最近的一批进货中随机测试了 100 个零件，其平均的抗热为个零件，其平均的抗热为 1200 ， 能否接能否接 受这批产品受这批产品?工厂希望对实际产工厂希望对实际产 品符合要求而错误地加以拒绝的风险为品符合要求而错误地加以拒绝的风险为 0.05。1250:05. 0,1200,30100,150,1250:0证明已知 xn1H0H05. 0 645.1)0(120033.3.,645.133.310015012501200645.105.01250:,1250:10095.0110拒收产品不合格接受拒绝而知由解HHnxZZZHH例题例题 3：（：（t-检验）检验） 相关知识：正态总体、方差