著名的几何定理

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1、著名的几何定理著名的几何定理著名的几何定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成 2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形 ABC 的外心为 O，垂心为 H，从 O 向 BC 边引垂线，设垂足不 L，则 AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、 （九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心

2、、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、 （内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss 为三角形周长的一半 14、 （旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形 ABC

3、的边 BC 的中点为 P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形 ABC 的边 BC 内分成 m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形 ABCD 的对角线互相垂直时，连接 AB 中点 M 和对角线交点 E 的直线垂直于 CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点 A、B 的距离之比为定比 m:n（值不为 1）的点 P，位于将线段 AB 分成 m:n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形 ABCD 内接于圆，则有ABCD+ADBC=AC 20、以任意三角形 AB

4、C 的边 BC、CA、AB 为底边，分别向外作底角都是 30 度的等腰BDC、CEA、AFB，则DEF 是正三角形， 21、爱尔可斯定理 1：若ABC 和三角形都是正三角形，则由线段AD、BE、CF 的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理 2：若ABC、DEF、GHI 都是正三角形，则由三角形ADG、BEH、CFI 的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有 BPPCCQQAARRB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略） 25、梅涅劳斯定理的应用定理 1：设ABC

5、 的A 的外角平分线交边CA 于 Q、C 的平分线交边 AB 于 R， 、B 的平分线交边 CA 于 Q，则P、Q、R 三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理 2：过任意ABC 的三个顶点 A、B、C作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB 的延长线交于点P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线 27、塞瓦定理：设ABC 的三个顶点 A、B、C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点 S 连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB 或它们的延长线交于点 P、Q、R，则BPPCCQQAARRB()=1. 28、塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边AB、AC 的交点分别

6、是 D、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS 一定过边BC 的中心 M 29、塞瓦定理的逆定理：（略） 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理 1：三角形的三条中线交于一点 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理 2：设ABC 的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点 R、S、T，则 AR、BS、CT 交于一点。 32、西摩松定理：从ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边BC、CA、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则D、E、R 共线， （这条直线叫西摩松线） 33、西摩松定理的逆定理：（略） 34、史坦纳定理：设ABC 的垂心为 H，其外接圆的任意点 P，这时关于ABC 的点

7、 P 的西摩松线通过线段 PH 的中心。 35、史坦纳定理的应用定理：ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边BC、CA、AB 的对称点和ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点 P 关于ABC 的镜象线。 36、波朗杰、腾下定理：设ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、R，则P、Q、R 关于ABC 交于一点的充要条件是：弧 AP+弧 BQ+弧CR=0(mod2). 37、波朗杰、腾下定理推论 1：设 P、Q、R 为ABC 的外接圆上的三点，若 P、Q、R 关于ABC 的西摩松线交于一点，则 A、B、C 三点关于PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点 38、波朗杰、

8、腾下定理推论 2：在推论 1 中，三条西摩松线的交点是 A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 39、波朗杰、腾下定理推论 3：考查ABC 的外接圆上的一点 P 的关于ABC 的西摩松线，如设 QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点 P、Q、R 的关于ABC 的西摩松线交于一点 40、波朗杰、腾下定理推论 4：从ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线，设垂足分别是 D、E、F，且设边 BC、CA、AB 的中点分别是L、M、N，则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上，这时 L、M、N点关于关于ABC 的西摩松线交

9、于一点。 41、关于西摩松线的定理 1：ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。 42、关于西摩松线的定理 2（安宁定理）：在一个圆周上有 4 点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。 43、卡诺定理：通过ABC 的外接圆的一点 P，引与ABC 的三边BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线 PD、PE、PF，与三边的交点分别是 D、E、F，则 D、E、F 三点共线。 44、奥倍尔定理：通过ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC 的外接圆的交点分别是 L、M、N，在ABC 的外接圆取一点

10、 P，则 PL、PM、PN 与ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F，则 D、E、F 三点共线 45、清宫定理：设 P、Q 为ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点，P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W，这时，QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F，则D、E、F 三点共线 46、他拿定理：设 P、Q 为关于ABC 的外接圆的一对反点，点 P 的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W，这时，如果QU、QV、QW 与边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别为 ED、E、F，则 D、E

11、、F 三点共线。 （反点：P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点，如果 OC2=OQOP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点） 47、朗古来定理：在同一圆同上有 A1B1C1D14 点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点 P，作 P 点的关于这 4 个三角形的西摩松线，再从 P 向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。 48、从三角形各边的中点，向这条边所的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心。 49、一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n-1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 50、康托尔定理 1：一个圆

12、周上有 n 个点，从其中任意 n-2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 51、康托尔定理 2：一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N 两点，则 M 和 N 点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC 中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做 M、N 两点关于四边形 ABCD 的康托尔线。 52、康托尔定理 3：一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点，则 M、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、L、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、M、L 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线交于一点。这个点叫做 M、N、L 三点关于四边形 A

13、BCD 的康托尔点。 53、康托尔定理 4：一个圆周上有 A、B、C、D、E 五点及 M、N、L三点，则 M、N、L 三点关于四边形 BCDE、CDEA、DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做 M、N、L 三点关于五边形 A、B、C、D、E 的康托尔线。 54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 56、牛顿定理 1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个

14、四边形的牛顿线。 57、牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 58、笛沙格定理 1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 59、笛沙格定理 2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A和 D、B 和 E、C 和 F，则这三线共点。 60、巴斯加定理：圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和EF、CD 和 FA 的（或延长线的）交点共线