《二（3）函数的奇偶性、周期性（教师）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二（3）函数的奇偶性、周期性（教师）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher1函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性、周期性一、一、知识要点知识要点1、 函数奇偶性的定义：设函数，任取，若有 yf xxDxD，则称函数为偶函数；若，则称函数 f xfx yf x f xfx 为奇函数. yx2、奇、偶函数的性质（1）函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称； f x（2）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； f x g xy（3）在公共定义域内，两奇函数之积（商）为偶函数；两偶函数之积（商）也为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（取商时分母不可为零） ；（4）若是具有奇偶性的单调函数，则奇函数在
2、正负对称区间上的单调性相同， f x偶函数在正负对称区间上的单调性相反；（5）若函数的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数的充要条 f x f x件是 0f x 3、函数的周期性（1）对于函数，如果存在一个非零常数，使得对于定义域内 f xxDT f x任意，都有，那么这个函数叫做周期函数，常数叫做函数x f xTf x f xT的周期 f x（2）对于每一个周期函数来说，它的周期可有无穷多个，对于周期函数，如果 f x微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher2在其所有的周期中存在最小的一个正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期二、二、例题精讲例题精讲例 1、 判断
3、函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）； 21 22xf xx 1lg1xf xxx 2211f xxx（4）；（5）；（6） 11 312xf xx 21f xx 2223,0, 0,0,23,0xxx f xxxxx 答案：（1）奇；（2）偶；（3）既奇又偶；（4）偶；（5）非奇非偶；（6）奇微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher3例 2、 （1）是上的奇函数，当时，求 f xR,0x 31f xxx时的解析式；xR f x（2）设为奇函数，为偶函数，且， f x g x 210,1, 1f xg xxxx求和的解析式 f x g x答案：（1）； 331,0,0,0,1,0x
4、xxf xxxxx （2）； 10,1, 111f xxx xx 10,1, 111g xxxx 例 3、已知，是二次函数，且为奇函数，当 23g xx f x f xg x时，的最小值为 1，求的表达式1,2x f x f x答案：或 22 23f xxx 233f xxx例 4、已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上R f x 4f xf x 0,2是增函数，则（ ）微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher4A、B、 251180fff 801125fffC、D、 118025fff 258011fff答案：D例 5、已知函数以任意实数均有， f x, x y 222xyxyf
5、 xfyff，且存在非零常数使 00fc 0f c （1）求的值； 0f（2）讨论函数的奇偶性； f x（3）求证：是周期函数 f x答案：（1）；（2）偶函数；（3）提示：证明 01f 4fcxf x*例 6、已知函数和的图像关于原点对称，且 f x g x 22f xxx（1）求函数的解析式； g x（2）解不等式； 1g xf xx（3）若在上是增函数，求实数的取值范围 1h xg xx1,1微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher5答案：（1）；（2）；（3） 22g xxx 11,20*例 7、对于函数，若存在实数，使成立，则称为函数的不动 f x0x 00f xx0x点
6、（1）已知函数 2110f xaxbxba若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；b f xa在的条件下，若的图像上两点的横坐标都是函数的不动点， yf xAB、 f x且两点关于直线对称，求实数的最小值；AB、21 21ykxab（2）命题“若定义在实数集上的奇函数存在有限个相异的不动点，则不动点R g x的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明答案：（1）；（2）提示：证明非零不动点必成对出现0,1min2 4b 微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher6*例 8、 （1）已知函数满足：， f x 114f 4 f x fyf x
7、yf xy，则 , x yR2010f（2）如图放置的边长为 1 的正方形沿轴滚动设顶PABCx点的轨迹方程是则函数的最小正,P x y yf x f x周期为 ；在其两个相邻零点间的 yf x图像与轴所围区域的面积为 x答案：（1）；（2）4；1 21三、三、课堂练习课堂练习1、已知对于任意实数，函数满足，若方程有 2013x f x fxf x 0f x 个实数解，则这 2013 个实数解之和为 答案：02、设是定义在上的奇函数，若当时，则 f xR0x 3log1f xx2f 微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher7答案：13、已知函数是奇函数，当时，设的反函数是 yf x
8、0x 31xf x f x，则 yg x8g 答案：24、已知的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且 f xg x、R f x g x，则 ， 12xf xg x f x g x 答案：，22xx22xx5、设函数的定义域关于原点对称，且适合下列三个条件： f x对于定义域内的都有；12xx、 12 12 121f xf xf xxf xf x存在常数，使；0a 1f a 对于，有试求它的一个周期： 0,2xa 0f x 答案：4a6、设是定义在上的函数，它具有奇偶性，且，则 f xR22fxfx的最小正周期是 f x答案：若偶函数则为 4，若奇函数则为 8微信公众号：数学第六感 微信号：AA-
9、teacher8四、四、课后作业课后作业一、填空题1、若函数（常数）是偶函数，且它的值域为 2f xxabxa, a bR，则该函数的解析式 ,4 f x 答案：224x2、若函数的图像关于直线对称，则 323,yxaxxa b1x b 答案：63、判断函数的奇偶性：是 函数， 2 1 2log1f xxx是 函数 11xxx ag xa0a 答案：奇，偶4、如果函数是奇函数，则 23,0,0xxyf xx f x 答案：23x微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher95、写出函数的一个解析式，使同时具有下述各性质：是定义在上的 f x f xR偶函数；最小正周期为 6 的周期函数
10、；其图像经过定点，则 3,2 f x 答案：（答案不唯一）2cos3x6、设是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则 f xR yf x1 2x 12345fffff答案：0二、选择题7、设函数是定义在上的以 5 为周期的奇函数，若， f xR 21f，则的取值范围是（ ） 2333aafaaA、B、 , 20,3 U 2,03,UC、D、 , 20, U ,03,U答案：A8、定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将R f xT方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ） 0f x ,T TnnA、0B、1C、3D、5微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teache
11、r10答案：D9、设偶函数对任意，都有，且当时， f xxR 13f xf x 3, 2x ，则的值是（ ） 2f xx113.5fA、B、C、D、2 72 71 51 5答案：D三、解答题10、设，aR 22 21xxaaf xxR（1）确定的值，使为奇函数；a f x（2）当为奇函数时，对于给定的正实数，解关于的不等式 f xkx 1 21logxfxk答案：（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为1a 02k1,1k2k 1,111、已知集合， |21 ,Mf xf xf xf xxR sin3xg x微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher11（1）判断与的关系，并说明理由； g xM（2）中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；M（3）中的元素是否都是奇函数，证明你的结论M答案：（1）；（2）都是周期为 6 的函数；（3）不都是奇函数 g xM12、已知函数， 11 335xxf x 11 335xxg x（1）证明是奇函数，并求的单调区间； f x f x（2）分别计算和的值由此概括出涉及函 4522ffg 9533ffg数和的对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明 f x g xx答案：（1）单调区间为和；,00,（2）， 45220ffg； 95330ffg 250f xf x g x
