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1、电磁场理论习题解答电磁场理论习题解答信息科学技术学院1第 1 章习题答案1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成 8 个标量方程。解：在直角坐标系中矢量 D 的散度运算如下：(1)zD yDxDDDDzyxzyx zyx kjikjiD因此，高斯通量定理和磁通连续性原理分别是两个标量方程：(2)0 , zB yBxB zD yDxDzyxzyx在直角坐标系中矢量 E 的旋度运算如下：(3) yE xExE zE zEyEEEEzyxxyzxyzzyxkjikjiE法拉第电磁感应定律可以写成 3 个标量方程：(4)tB yE xEtBxE zE tB zEyEzxyyzxxyz ，
2、全电流定律也可以写成 3 个标量方程：(5)tHJyH xHtDJxH zH tDJzHyHz zxyy yzxx xyz ，共 8 个标量方程。1-2 试证明：任意矢量 E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即(E)0 (1)证明：设 A 为任意矢量场函数，由题 1-1 式(3)可知，在直角坐标系中，它的旋度为(2) yE xExE zE zEyExyzxyzkjiE再对上式进行散度运算(3)0)(222222 zyE xzEyxE zyE xzEyxEyE xEzxE zE yzEyE xxyzxyzxyzxyzE得证。1-3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程(1
3、)t J解：麦克斯韦方程组中微分形式的全电流定律为(2)t DJH对上式等号两边进行散度运算，由题 1-2 知，等号左边的散度为零，等号右边的散度亦应为零，即2(3)0)( DJDJtt把微分形式的高斯通量定理 D 代入上式，考虑到坐标变量和时间变量是相互独立的自变量，可得(4)0tJ上式移项即得式(1)。1-4 参看 1-4 题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 1和 2，分界面两侧电场强度矢量E 与单位法向矢量n21之间的夹角分别是1和 2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度 S0，试证明：(1)2121 tantan 上式称为电场 E 的折射定律。证明：根据已知条件，由电位移矢量
4、 D 的法向分量边界条件可得D1nD2n 1E1n2E2n (2)根据已知条件可知，分界面两侧电场强度矢量 E 的切向分量连续，即E1tE2t (3)从 1-4 题图可以看出(4)2112221121 / tantan nnntnt EE EEEE证毕。1-5 参看 1-4 题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 1和 2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量 JS0，把图中的电场强度矢量 E 换成磁感应强度矢量 B。试证明：(1)2121 tantan 上式称为磁场 B 的折射定律。若 1为铁磁媒质，2为非铁磁媒质，即 12，当 1 90时，试问 2的近似值为何？请用文字叙述这一结
5、果。解：由磁感应强度矢量的法向分量边界条件可得B1nB2n 1H1n2H2n (2)1-4 题图3根据已知条件可知，分界面两侧的磁场强度矢量 H 的切向分量相等，即H1tH2t (3)从 1-4 题图可以看出(4)212211221121 / tantan ttntnt HH BBBB证毕。当12时，必有 tan1tan2；而由于190，则必有20，即磁感线垂直于铁磁媒质的表面。1-6 已知电场强度矢量的表达式为E isin( t z)j2cos( t z) (1)通过微分形式的法拉第电磁感应定律，求磁感应强度矢量 B(不必写出与时间 t 无关的积分常t BE数)。解：参见题 1-1 式(3)
6、，先对电场强度矢量 E 进行旋度运算(2)cos()sin(2ztztyE xExE zE zEyExyzxyz jikjiE将磁感应强度试量 B 对时间 t 进行积分，得(3)sin()cos(2d)cos(d)sin(2dztzttzttzttjijiEB考虑到电场强度矢量 E 的 Ez0，只有 Ex和 Ey两个坐标分量，且仅是(z, t)的函数，由题 1-1 式(4)可知(4)0 yE xEtBzE tB zExyyxxy，通过对时间 t 的积分，求出磁感应强度矢量 B 的两个坐标分量(5) )sin(d )cos(d)cos(2d )sin(2dzttzttzEBzttzttzEBx
7、yy x于是可以写出磁感应强度矢量为(6)sin()cos(2ztztBByxjijiB与上面直接用电场强度矢量 E 计算得到的结果相同。1-7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为 R，间距为 d。其间填充介质的介电常数 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为 I(t)I0sin(t)。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢4量 D。解：解法(一)电容器的电容量为 (1)dR dAC2两极板间的电压为 (2)cos(d)sin()(00tCIttCItU两极板间的电场为 (3)cos()()(0tCdI dtUtE两极板间的电位移为 (4)cos()cos()()(200tRIt
8、CdItEtD电位移 D 对时间 t 的导数为 (5)(1)sin(1)(dd202tIRtIRtDt解法(二)电容器内部的位移电流等于外部的传导电流，即(6) )sin(ddd02tIRtD tsD把上式等号两边对时间 t 积分，可得(7)cos(d)sin()(20 20tRIttRItD与解法(一)的结果相同。1-8 在空气中，交变电场 E jAsin( t z)。试求：电位移矢量 D，磁感应强度矢量 B 和磁场强度矢量 H。解：由已知条件可知ExEz0， EyAsin( t z) (1)对电场强度矢量 E 进行旋度运算(参见 1-1 题)，得(2)cos(ztAyE xExE zE z
9、EyExyzxyz ikjiE由微分形式的法拉第电磁感应定律，对时间 t 进行积分，可得(3)xB)ztsin(At)ztcos(AtiiiEBdd由已知条件可知，电场强度矢量 E 的两个坐标分量 EzEx0，只有 Ey分量，且仅是(z,t)的函数，由题 1-1 式(4)应改写为(4)0 , yExEtB zEyyxy5通过对时间 t 的积分，磁感应强度矢量 B 的坐标分量只有(5)sin(d )cos(dzttzttzEBy x即 )sin(ztBBxii由本构方程可求得另外两个矢量(6)sin( , )sin(000ztAztAiHjED1-9 设真空中的磁感应强度为)106sin(10)
10、(83kztetBy试求空间位移电流密度的瞬时值。解：由麦克斯韦方程知，而真空中传导电流 J = 0，则位移电流为tDJHBHtDJd1求得)106sin(21010)106sin(1084 38003kztekztkeJxxd1-10 试证真空中麦克斯韦方程对于下列变化具有不变性 cossinsincosBcEBcBEE式中，为真空中的光速。001 c证明：由于真空中，J=0，=0，那么，E 及 B 应满足的麦克斯韦方程可简化为， 即 tDHtBE BtEEtB001 将 E及 B代入该方程，即得)sincos(cBEE而EBctB tE cBcE ttBcossincossin)cossin(006式中，。因此，上式可简化为001 c)sincos(cossincBEEBctB即 BtB同理可证，即麦克斯韦方程对该变换具有不变性。BtE001 第 2 章习题答案2-1 参看图 2-5-1，无限大导板上方点 P(0,0h)处有一点电荷 q。试求：z0 半无限大空间的电场强7度矢量 E 和电位移矢量 D，以及导板上的面电荷密度S和总电荷量 q。解：用镜像点电荷q 代替无限大理想导板。镜像点电荷q 和真实点电荷 q 到任意给定的观察点(x,y,z)的距离分别为(1)2122221222)( )(hzyxRhzyxR和任意给定的观察点(x，y，z)处的电
