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1、151第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) 1 可微性 ( 4 时 )一可微性与全微分：1 可微性：由一元函数引入.亦可写为, )()(22yxyx时.) , (yx) 0 , 0 () , () 0 , 0 (2 2全微分: 例 1 考查函数在点处的可微性. 1P105 E1xyyxf),() , (00yx二二. .偏导数: 1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义: 1P109 图案 171. 3.求偏导数:例 2 , 3 , 4 . 1P142143 E2 , 3 , 4 .例 5 设 . 0 , 0, 0 ,),(22222223 yxyx yxyxyxf证明函数在点连续
2、 , 并求和.),(yxf) 0 , 0 () 0 , 0 (xf) 0 , 0 (yf证 )sincos(lim),(lim2320sin,cos)0, 0(),( yxyxyxf. 在点连续 .)0 , 0(0)sincos(lim230f ),(yxf) 0 , 0 (,) 0 , 0 (xf0|lim)0 , 0()0 ,(lim300xxx xfxfxx不存在 .) 0 , 0 (yf|lim)0 , 0(), 0(lim200yyy yfyfyyEx 1P116117 1，2 4 . 152三三. .可微条件: 1.必要条件:Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 ) , (00
3、yx),(yxf),(yxf) , (00yx和存在, 且) , (00yxfx) , (00yxfy. (证),(00),(00yxdfdfyx) , (00yxfxx) , (00yxfyy由于,微分记为.dyydxx , ),(00yxdf) , (00yxfxdx) , (00yxfydy定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例 6 考查函数在原点的可微性. 1P110 E5 . 0 , 0, 0 , ),(222222yxyx yxxyyxf2.充分条件:Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续 . ),(yxfz
4、 xfyf) , (00yx则函数在点可微. (证) 1P111f) , (00yxTh 3 若在点处连续, 点存在,则函数在点),(yxfy) , (00yx),(yxfx) , (00yxf可微.) , (00yx证 fyyxxf) , (00) , (00yx ) , () , () , () , (00000000yxfyxxfyxxfyyxxf0 1,0 ),() , (0000xxyxfyyyxxfxyxxyxfyyxfxy),(),(00000.yxyyxfxyxfyx) , () , (0000即在点可微 .f) , (00yx要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .1
5、53例 7 设 . 0 , 0, 0 ,1sin)( ),(22222222yxyx yxyx yxf验证函数在点可微, 但和在点处不连续 .),(yxf) 0 , 0 (xfyf) 0 , 0 (证 ).0 , 0(),( , 01sin),(2222 yx yxyxyxf 因此,即 ,在点可微, )(),(yxf)(00)0 , 0(),(yxfyxff)0 , 0(. 但时, 有0)0 , 0( , 0)0 , 0(yxff),(yx) 0 , 0 (, 2222221cos1sin2),( yxyxxyxxyxfx 沿方向 不存在, 沿方向 极限,kxy 202201|limlim k
6、xxyxxxx ,kxy 不存在; 又时, , 222201coslim yxyxxx),(yx) 0 , 0 (01sin2 22 yxx因此, 不存在, 在点处不连续.由关于和对称,也在点),(lim )0, 0(),(yxfx yxxf) 0 , 0 (fxyyf处不连续 .) 0 , 0 (四.中值定理:Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数. 若属于该邻域, 则存在f) , (00yx),(yx和, , 使得)(010xxx)(020yyy10 , 1021. ( 证 )( , ()( , (),(),(00000yyxfxxyfyxfyxfyx例 8 设在区域 D 内. 证明在
7、D 内.0yxffcxf)(五五. .连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六.可微性的几何意义与应用：1可微性的几何意义： 切平面的定义. 1P115.154Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条),(yxfz ) , ( , , (0000yxfyxPZ件是函数在点可微 . (证略),(yxf),(000yxP2. 切平面的求法: 设函数在点可微，则曲面在点),(yxf),(000yxP),(yxfz 处的切平面方程为 (其中) , ( , , (0000yxfyxP),(000yxfz ，)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx法线方向数为， 1 , ),( ,
8、 ),( 0000yxfyxfyx法线方程为 .1),(),(0000000 zz yxfyy yxfxxyx例 9 试求抛物面 在点处的切平面方程和法线方程 . 22byaxz),(000zyxM1 P115 E6 3.作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.例 10 求的近似值. 1 P115 E796. 308. 1例 11 应用公式计算某三角形面积.现测得,CabSsin2150.12a. 若测量的误差为的误差为 . 求用此公式计o30 , 30. 8Cbba , C , 01. 0o1 . 0算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. 1 P116 E8Ex 1P116117
9、 514 ； 2 复合函数微分法复合函数微分法 （ 5 时时 ） 简介二元复合函数 : .),( , ),( , ),(tsytsxyxfz以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅4 P327328 .;),( , ),( , ),(tsytsxyxfz, ; , ),(zyxfu ),( , ),( tsytsx),( tsz155. , ),(zyxfu ),( , ),( ztsyztsx一一. . 链导法则链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数在点D 可微, 函数在点),( , ),( tsytsx),( ts),(yxfz ),(yx可微 , 则复合函数在点可微, 且),
10、( , ),(tstsfz ),( , ),(tsts),( ts,),(),(),(),(),(tsyxtsyxtssy yz sx xz sz . ( 证 ) 1 P155),(),(),(),(),(tsyxtsyxtsty yz tx xz tz 称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘” （或“并联加，串联乘” ）来概括. 对所谓“外三内二” 、 “外二内三” 、 “外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘” 的原则可写出相应的链导公式. 链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如1 P156 的例.对外元,
11、内元 , 有m),(21muuufLn),(21nikxxxuL) , , 2 , 1(mkL， . mkikkixu uf xf1ni , , 2 , 1L外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.n例 1 . 求和. 1 P157 E1yxveuvuzyx22, , )ln(2 xz yz 例 2 , . 求和.22uvvuzyxvyxusin , cosxz yz 例 3 , 求和.)3(22 2yxyxzxz yz 例 4 设函数可微 . . 求、和.),(wvuf),(),(xyzxyxfzyxFxFyFzF例 5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :156
12、; . 1 P158 E4xxy xxxxycossinln)1 (2例 6 设函数可微. 在极坐标变换下 , 证明),(yxuu sin , cosryrx. 1 P157 E2222221 yu xuu rru 例 7 设函数可微 , . 求证 )(uf)(22yxyfz.xzyzxyxzy2二二. . 复合函数的全微分复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例 8 . 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和.)sin(yxezxydzxz yz 1P160 E5Ex 1P160161 15.三三. . 高阶偏导数: 1.高阶偏导数的定义、记法：例 9 求二阶偏导数和. 1P167 E1,2yxez23xyz 例 10 . 求二阶偏导数. 1P167 E2xyarctgz 2.关于混合偏导数: 1P167170. 3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , 1P171例 11 . 求和. 1P171 E3) , (yx
