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1、- 1 -长安一中 2012 届高三开学第一次考试数学试题(理科)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分)1设,则“”是“”则( 1,2M 2Na1a NM) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不 必要条件2已知,其中 为虚数单位,则( ),(2Rbaibiiaiba) AB1 C2 1 D3 3设右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A942 B3618C9122 D91824已知抛物线022ppxy的准线与圆07622xyx相切,则p的值为( )A B1 C2 D4215在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为,b,c,若,
2、b=2,sinB+cosB=,a2a2则角 A 的大小为( )A2B 3C4D66阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出 的结果为( ) A12 B22 C30 D32332正视图侧视图俯视图开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出 T 结束 是 否 - 2 -OGHEF7已知实数满足如果目标函数的最小值为,则实数=( xy,1 21y yx xym , , zxy1m) A2 B5 C6 D78若两个非零向量, a br r 满足2ababarrrrr ,则向量abrr 与abrr 的夹角是( )A6B C2 3D5 6 49函数满足 ,当时,则在)(x
3、fy (2)( )f xf x 2,2x 1)( xxf( )f x上零点的个数为0,2010( ) A1004 B1005 C2009 D2010 10如图,模块均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成,模块由 15 个棱长为 1 的小正 方体构成现从模块中选出三个放到模块上,使得模块成为一个棱长为 3 的 大正方体则下列选择方案中,能够完成任务的为 ( )A模块, B模块, C模块, D模块, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分)11已知,则的展开式中的常数项为 0(sincos )att dt61()axx12如图, 是以为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将
4、一颗豆EFGHO子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形内” ,B 表示事件“豆子EFGH- 3 -落在扇形(阴影部分)内” ,则(1);(2)OHE=_P A()=_PA(B| )13函数的图像恒过定点 A,若点 A 在直线) 1, 0(log1)(aaxxfa上,其中则的最小值为 02 nymx, 0mnnm1114设函数,观察:)0(2)(xxxxf1( )( ),2xf xf xx21( )( ),34xfxf f xx32( )( ),78xfxf fxx43( )( ),1516xfxf fxxL L根据以上事实,由归纳推理可得:当nN且2n 时,1( )( )nnfx
5、f fx 15 (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分 )A在极坐标系中,两点,间的距离是 (3,)3A2(4,)3BB不等式的解集为 125xx C如图所示,过O 外一点 P 作一条直线与O 交 于 A,B 两点,已知 PA=2,点 P 到O 的切线长 PT=4,则弦 AB 的长为 三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分)16 (12 分)已知函数( )4cos sin() 16f xxx(1)求的最小正周期;( )f x(2)求在区间上的最大值和最小值( )f x,6 4 17 (12 分)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上
6、 2、5、13 后成为等比数列 nb中的3b、4b、5b(1) 求数列 nb的通项公式;ATBOP- 4 -(2) 数列 nb的前 n 项和为nS,求证:数列5 4nS是等比数列18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平 行四边形,DAB=60,AB=2AD=2,PD底面 ABC D (1)证明:PABD; (2)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值19 (12 分)设,其中21)(axexfx0a(1)当时,求的极值点;34a)(xf(2)若为 R 上的单调函数,求的取值范围)(xfa20 (13 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对岁的人群随机抽取人
7、进行了一25,55n次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否 则称为“非低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:(1)补全频率分布直方图并求、的值;nap(2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活40,50)18动,其中选取人作为领队,记选取的名领队中年龄在岁的人数为,求3340,45)X的分布列和期望XEX21 (14 分)设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为,右焦点与点)2,0(AF的距离为( 2 ,2)B2(1)求椭圆的方程;(2)是否存在经过点的直线 ,使直线 与椭圆相交于不同的两点满足)3,0(ll
8、,M N?若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由ANAM l- 5 -参考答案一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分)题号12345678910答案ABDCDCBCBA二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分)11 12 (1); (2) 13 2252 4114 15 A Bnnxx 2) 12(13C6(, 2)(3,) U三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分)16解:(1)因为1)6sin(cos4)(xxxf1)cos21sin23(cos4xxx1cos22sin32xxxx2cos2sin3)62sin(2x所以的最
9、小正周期为-6 分)(xf(2)因为.32 626,46xx所以于是,当时,取得最大值 2;6,262xx即)(xf当取得最小值-12 分)(,6,662xfxx即即117解:(1)设成等差数列的三个正数分别为, ,ad a ad依题意,得15,5.adaada解得- 6 -所以中的依次为 nb345,b b b7,10,18.dd依题意,有(舍去)(7)(18)100,213dddd 解得或故的第 3 项为 5,公比为 2 nb由22 311152 ,52 ,.4bbbb即解得所以是以为首项,2 为以比的等比数列, nb5 4其通项公式为-6 分13525 24nn nb(2)数列的前项和,
10、即 nbn25(12 )545 2124nn nS 22545n nS所以11125 555 24,2.5425 2 4nnnnS S S因此为首项,公比为 2 的等比数列-12 分5542nS 是以18 (1)因为=2, 由余弦定理得=60 ,2DABABAD3BDAD3从而 BD2+AD2= AB2,故 BDAD 又 PD底面 ABCD,可得 BDPD 所以 BD平面 PAD故 PABD- -6 分(2)如图,以 D 为坐标原点,射线 DA 为轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-,则xxyz,1,0,0A03,0B,1, 3,0C 0,0,1P)0 , 3, 1(AB,) 1, 3, 0(P
11、B)0 , 0 , 1(BC设平面 PAB 的法向量为=(x,y,z) ,则 即 n 00PBnABn3030xyyz 因此可取=n( 3,1, 3)- 7 -设平面 PBC 的法向量为,则 ,m 00BCmPBm可取=(0,-1,) , 则 m342 7cos,72 7m n 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 -12 分2 7 719对求导得)(xf222)1 (21)(axaxaxexfx (1)当时,若,则,解得34a0)( xf03842 xx21,23 21xx结合,可知x)21,(21)23,21(23),23()(xf +0_0+)(xf极大值极小值所以,是极小值点,是极大值点
12、-6 分23 1x21 2x(2)若为 R 上的单调函数,则在 R 上不变号,结合与条件 a0,知)(xf)(xf 在 R 上恒成立,因此,0122 axax0) 1(4442aaaa由此并结合 a0,知-12 分10 a20解:(1)第二组的频率为,所以高为1(0.040.040.030.020.01)50.3频率直方图如下:0.30.065-2 分- 8 -第一组的人数为,频率为,所以1202000.60.04 50.220010000.2n 由题可知,第二组的频率为 03,所以第二组的人数为,所以10000.33001950.65300p 第四组的频率为,所以第四组的人数为,所以0.03 50.1510000.15150 1500.460a -6 分(2)因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为40,45)45,50),所以采用分层抽样法抽取 18 人,岁中有 12 人,岁中60:302:140,45)45,50)有 6 人 随机变量服从超几何分布X,03 126 3 185(0)204C CP XC12 126 3 1815(1)68C CP XC,21 126 3 1833(2)68C CP XC30 126 3 1855(3)204C CP XC所以随机变量的分布列为XX0123P5 20415 68