浅谈2007年三角函数

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1、1浅谈浅谈 2007 年年三角函数三角函数 、 平面向量平面向量的高考复习策略的高考复习策略浙江省天台中学浙江省天台中学 陈陈中停中停数学新课程赋予高考数学科新的内容、新的模式、新的要求和新的活力。它要求指导高考复习工作的高三数学教师既要调整对原高考模式下知识结构、重难点的认识和复习思路，改进以往所形成的复习经验，更要切准高考脉搏，具有新课程理念的问题一定会在今年的数学高考试题中出现，将新课程理念渗透到高考复习中去是我们高三数学教师必须重视的一项工作，只有这样才能适应新高考教学的需要。所以教师在复习过程中，要在谙熟新课程内容结构体系的基础上，吃透高考考试说明的要求，从第一轮的章节复习开始，就要

2、保证复习的针对性，使学生能尽快地在数学知识、方法、思想、能力、素养等各项指标上达到要求。三角函数与平面向量这两部分内容历来是高考的重点和热点内容，三角函数大部分试题属于中档题和容易题，都来源于课本中的例题、习题的变形，因此复习时应立足于课本、着眼于提高。虽然2007 年的考试大纲降低“三角函数”的考查要求，但核心知识的考查要求并没有降低，他的基础性、工具性并没有因此而削弱。相反更加强调他们的工具性和基础性。纵观 2007 年的全国各地高考试题，对三角函数的考查比例基本保持稳定，试题注重了对三角函数的基础知识、基本技能和基本方法的考查，绝大部分试题中规中矩，但其中不乏颇有新意的试题。 “平面向量

3、”是高中数学的新增内容，其特殊的表达形式以及兼具“数”与“形”的二重性，使得高2考试题的命题背景更加丰富，命题空间更加宽广，解决问题的方法异彩纷呈，考查平面向量和向量方法与其他内容的穿插、渗透和融合，成为高考数学试题中的一道靓丽的风景线，下面谈谈 2007 年高考中“三角函数与平面向量”的试题特点和对教学的几点启示。一、考纲与考题（一）解读考纲2007 年高考数学考试大纲与 2006 年高考数学考试大纲对比，总体保持了平衡，修改后更加适合中学数学教学实际和现代中学生的实际水平，概括讲起来，文、理科在三角函数、平面向量中有如下变化：1、 理解：“任意角的三角函数、单位圆中的三角函数线，同角三角函

4、数的基本关系式，正弦、余弦的诱导公式”改为理解：“任意角的三角函数、单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式，正1cossin22tancossin1cottan弦、余弦的诱导公式” 。2、 三角函数的考试要求中的“（1）理解理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算” 。改为“（1）了解了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算” 。变化词：“掌握掌握”降低为降低为“了解了解”3、 三角函数的考试要求中的“（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义” ，改3为“理解任意角的正弦、余弦、正切的定义” 。变化词：“掌握掌握”降低为降低为“理解理解” 。从以上的

5、变化中我们可以发现，考纲的变化实际上是将考试范围更加集中于三角函数的核心知识，对基础的要求更加深入。有利于考查学生的基本能力，促进思维的培养。（二） 量化试题2007 年高考试题中“三角函数与平面向量”部分省份考察知识点及实体分布如下表所示：1、部分重点省份高考试题分布三角函数平面向量卷型科 别题序分 值考点题序分 值考点文2，10，172035全国 1理1，12，1720求值，恒等 式，最值， 解三角形35坐标运算文1，3，18226，9，12 ，2112全国 2理1，2，1720求值，单调 性，解三角 形5，9，12 ，2012运算，与函数、解 析几何的综合文4，171864上海 卷理6，

6、1716恒等变形， 周期性，解 三角形144加法运算，数量积文1，3，8，12 ，1322115北京 卷理1，8，11，1 317概念，性质， 恒等变形， 解三角形45加法，实数与向量 的运算，坐标运算文2，12，182395浙江 卷理2，12，1823图形与性质， 恒等变形， 解三角形75概念，运算文 江苏 卷理1，5，11，15，1622骤起，单调 性，恒等变 形，解三角 形193与解析几何的综合2、新课程改革试验区高考试卷4三角函数平面向量卷型科 别题序分 值考点题序分 值考点文9，16174，169广东 卷理3，13，1618求值，恒等 式，最值， 解三角形65坐标运算文2，3，9，1

7、7224，218宁夏 与海 南卷理1，3，9，1720图像，性质， 恒等变形， 解三角形2，198坐标运算，解析几 何的综合文4，17175，97山东卷理5，9，2018图像，性质， 解三角形115概念，运算，与解 析几何的综合 （三）考情分析 从 2007 年高考试题和考试说明的研读中我们能深刻地体会到 2007 年高 考命题的三大特点： 1、考查“基础知识、基本技能和基本方法”是高考命题的一个基本原则， 在 2007 年高考中“三角函数与平面向量”试题都是容易题和中档题，突出了对 “基础知识、基本技能和基本方法”的考察，在常规中考察知识与能力，许多 题目似曾相识，有些题是课本上例题、习题的

8、变式、转化或引申。例如，全国 卷 1 理 1、3，文 2，3，10，全国卷 2 理 1、2、9、12，文 1、3、6、9、12，北 京卷理 1、11，文 1、3、12，上海理 6，文 4、6，天津卷问 9、17，重庆卷理 5、17，文 6、13 山东卷理 5，文 4，广东卷理 3，宁夏与海南卷理 2、3、17， 文 3、4、17，江苏卷 1、5、11，浙江卷理 2、12，文 2、12，福建卷理 5，文 3、5，江西卷理 3、15，文 2、4，湖北卷理 2，文 1、16，湖南卷理 12，文 2、12，四川卷理 16、17，文 16、18，陕西卷理 4、15，文 4、16，安徽卷理 6，文 15

9、等都是源于教材的基础题。学生在解答这部分试题时，基本上没有思 维障碍，许多题目只需直接利用定义、公式进行判断或计算，体现了“考基础” 的命题原则。 2、突出能力立意，即强调基础和能力并重，知识与能力并举，在知识的交 汇点处命题，体现“重点知识重点考查”的原则，使试卷具有灵活的特点。三 角恒等变形、求值、三角函数的图像和性质、解三角形是支撑三角函数知识体 系的主干知识，2007 年的高考也十分注重对这些重点内容的考查，在 37 份试 卷中，除北京卷理、文、江苏卷 3 份试卷外的 34 份试卷中，均有一道三角函数 的解答题，其中 18 份试卷考察的是解三角形的有关知识，有 16 道题考察的是 三角

10、函数的恒等变形与求值，12 道题涉及三角函数的最值，考查周期性的有 5 道、单调性的有 4 道试题，从中可以看出三角函数部分的命题突出了这一原则。3、倡导理性思维，即以能力立意命题，更好地考察数学思想，全面地考查 考生的数学理性思维能力。数学思想和方法是数学知识是数学知识在更高层次 上的抽象和概括，是中学数学解题的利剑。在 2007 年高考“三角函数与平面向 量”试题中重点考察了函数与方程思想（如全国卷 1 理 1，全国卷 2 理 17，天 津卷理 10 等） 、数形结合的思想（如全国卷 1 文 10、全国卷 2 理 2、文 3、12 等） 、化归与转化思想（如全国卷 1 理 12，文 10，

11、全国卷 2 理 1、12 等） ，此外 还考察了分类与整合思想（如北京卷理 1、上海卷理 14）与换元法（如全国卷 1 理 12，辽宁卷理 20 等） 。在复习教学的过程中，对于数学思想方法的复习从5某种角度上考虑也就决定了我们复习的效果。 4、注重数学的应用，即通过创设应用背景，充分体现出基础知识、重点知 识间的联系，让考生在实践体验的基础上通过构建相应的数学模型解答问题， 最终考查考生的实践能力与创新能力。加强应用意识的培养与考察是时代的需 要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的，如山东卷理 20.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行。230当

12、甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距 201A01051B海里，当甲船航行 20 分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的2A0120处，此时两船相距海里。问乙船每小时航行多少海里？，宁夏与海南2B210卷理 17（文 17）如图，测量和对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平ABB面内的两个测点与。现测得，并在点CDBCDBDCsCD 测得塔顶的仰角为，求塔高，从知识角度看，考察的是解三角形的有CAAB 关知识，所不同的是通过创新的情境，拉近了数学与现实生活的距离，考察的 是考试分析问题和解决问题的能力。又如江苏卷 16 某时钟的秒针端点到中心A 的距离为，秒针均匀地绕点旋

13、转，当时间时，点与钟面上标 12Ocm5O0tA的点重合，将两点的距离表示成的函数，则BBA,)(cmd)(st_，其中。让考生写出钟表秒针转动过程中，秒针端点d60, 0t的距离问题随时间 的变化关系，设计巧妙，凸现数学的工具性。t （五）亮点聚焦 在 2007 年高考试卷中，以常规的方式“考基础、考能力”的传统题构成试 卷的主体，同时我们还看到了一些构思新颖巧妙、内容丰富充实、形式生动活 泼的“考素质、考潜能”的令人耳目一新的试题。 1、平面向量已平面几何的“整合” 平面向量与平面几何间有着较为密切的依存关系，求平面图像中线段的长 度可以通过求相应向量的模来实现，求角度则可以通过求相应向量

14、的夹角来解 决，而平行和垂直的证明则可以分别通过向量共线的条件和数量积为零来处理。 因此，平面向量与平面几何整合，可以编制出许多新意迭出的试题，从而受到 命题者的普遍青睐，成为高考试题的一大亮点，如江苏卷理 15在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，xOyABC)0 , 4(A)0 , 4(CB192522 yx则_；此题寓向量的加减法运算、向量共线基 BCA sinsinsin本定理等知识与三角形这一基本的平面图形之中，对考生来说，情景似曾相识， 但又不失新意。 2、平面向量与函数图像“牵手”将向量的运算与函数的解析式联系在一起，将函数的图像与向量的坐标相6对应，使平面向量与函数及

15、其图像牵起手来，编制成有关平面向量与函数图像 的综合题，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，这是高考对平面向量综合考察的有一个“亮点” ，如湖南卷理 4设是非零向量，若ba,函数的图像是一条直线，则必有（ ）)()(bxabaxxf。baA.baB/.| .baC| .baD3、向量与立体几何的综合。在立体几何中引入空间向量以后，很多问题都 可以用向量的方法解决。由于应用空间向量的方法，可以通过建立空间坐标系， 将几何元素之间的关系数量化，进而通过计算求解，证明问题，空间向量更显 示解题的优势。现行的高中数学教材第九章(立体几何)分(A)、(B)两种，其中(B)引 入空间向量，我

16、省选用的是(B)，所以立体几何的命题必然会考虑到教材的特点。 预测今年的立体几何大题是：一题多问(证明位置关系、求角与距离或体积)、 一题多解(可用空间向量做，也可不用空间向量做)，一般情况下，应优先考虑 用空间向量的方法。利用空间向量解决立体几何问题，主要有两种策略，一是 建立空间直角坐标系，通过向量的坐标运算解决问题；二是不建立坐标系，直 接利用空间向量的基本定理，即将有关向量用空间的一组基底表示出来，然后 通过向量的有关运算求解。在给出的空间图形适合建立坐标系的情况下，应建 立坐标系求解。为此，要熟练掌握常见空间图形建立空间坐标系的方法，正确 写出相关点和向量的坐标并进行运算，要熟练掌握用空间向量求三种角(异面直 线所成的角、直线和平面所成的角、二面角)的两种距离(两条异面直线的距离、 点到平面的距离)的计算公式。用空间向量做立体几何题一般不需要作辅助线和 理论证明，但运算