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1、1一元二次方程考点一元二次方程是初中数学重要的内容，对一元二次方程的考查，新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.下面就其常见的如下考点，举例剖析.一、一元二次方程的概念一、一元二次方程的概念知识链接知识链接：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程就是一元二次方程。 例例 1：下列关于 x 的方程： 。其中是一元二次方程的个数是（ ）A、1； B、2 ； C、3 ； D、4；【分析】要判断一个方程是一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2。三个条
2、件缺一不可。而在解答过程中，忽视了任何一个条件都会导致错解。对于方程，因为没有这个条件，所以不一定是一元二次方程；方程不是整式方程；不是方程，是代数式；只有是一元二次方程。选 A 项。二、一元二次方程的求解二、一元二次方程的求解知识链接知识链接：解一元二次方程是本章的重点其基本解法有四种：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法例例 2方程的根是（ ）2 或 【分析】本题旨在考查运用因式分解法。解：2 x 5=0, (2 x -5)=0,解得或，选【点评】如果方程两边同除以相同因式，忽视了因式的情况，不属于同解变形，违背了等式的性质，造成丢根同学们要注意避免这类错误。三、利用方程根的定义，巧求值
3、。三、利用方程根的定义，巧求值。（一）、（一）、知识链接知识链接：若是方程的根，则例例 3.(2010 年安徽省)若 n（）是关于 x 的方程的根，求 m+n 的值【分析】已知方程的根为 n，则 xn 满足方程.将 x=n 代入方程即可得到关于 m+n 的关系式解：由一元二次方程根的定义，得即3（二）、（二）、知识链接知识链接：若，则是方程的根例例 4 4：设是相异的两个实数，且满足，求的值【分析】由于 a、b 满足的两个关系式结构相同，联想一元二次方程根的定义知：a、b 是一元二次方程的两个不相等的实数根，即求的值，故可用根与系数的关系求解。解：，可看作一元二次方程的两个实数根，原式四、利用
4、根的判别式四、利用根的判别式 =解题解题知识链接知识链接：一元二次方程 ax2bxc0（a0）根的判别式为b24ac，其意义在于不解方程可以直接根据判别根的情况，当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当O 时，方程无实数根还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围例例 5.（2010 年广东省广州市）已知关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。4【分析】若一元二次方程有两个实数根，则 ，由此列得出 a 与 b 的等量关系再将它代入已知代数式中从而求出值解：有两个相等的实数根，即，【点评】这道题主要考查学生对一元二次方程根的判别式的应用，以及代数式化简
5、计算能力。五、利用根与系数的关系解题五、利用根与系数的关系解题知识链接知识链接：已知是一元二次方程程 ax2+bx+c=0(a0)的两根，则有，例例 6.（2010 广东省茂名市）已知关于的一元二次方程（为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根； 5（2）设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值 【分析】要证明方程有两个不相等的实数根，只需证明=b24ac 大于 0，根据提示可以由一元二次方程中根与系数的关系求出相应的方程的两个实数根和的值解：（1），因此方程有两个不相等的实数根（2），又，解方程组： 解得：将代入，得：，解得：。【点评】一元二次方程根的判别式的应用：不解方
6、程，判别一元二次方程根的情况；已知一元二次方程根的情况，确定某些字母的值或范围；进行有关的证明如果一元二次方程有两根（0）为 x1、x2，则x1+x2=，x1x2=应用 已知一根，求另一根及求知系数；不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；已知两数，求以这两数为根的方程； 已知两数的和与积，求这两个数 确定根的符号 6六、六、“降次思想降次思想”的应用的应用知识链接：知识链接：利用“降次思想”解答问题，是中考命题创新之一。例 7.(2010 年安徽省芜湖市)已知 x1、x2为方程 x23x10 的两实根，求x138x220 的值【分析】先根据方程的定义把 x1 代入方程得到有关 x1 2 的等
7、式，等式两边都乘于 x1得到有关 x13 的等式，把它代入 x138x220 化简，再利用两根和可以计算出结果是1。解：已知 x1、x2为方程 x23x10 的两实根，x12=3 x11，x13=3x12x1=3（3 x11）x18 x13，根据根与系数的关系得=3 x138x2208（x1x2）231【点评】代入法是解决本题的亮点，也是我们常用的方法，它在解方程中起到消元、 降次的作用.七、七、一元二次方程的应用一元二次方程的应用知识链接：知识链接：列一元二次方程求解应用题是中考命题热点之一例 8. (2010 年山东聊城)2009 年我市实现国民生产总值为 1376 亿元，计划全市国民生
8、产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且 2011 年全市国民生产总值要达到 1726 亿 元（1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到 1%）（2）求 2010 年至 2012 年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到 1 亿元）解：（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为，根据题意，得：7，（不合题意，舍去）答：全市国民生产总值的年平均增长率约为 10%(2) 1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.65138(亿)答：2010 年至 2012 年全市三年可实现国民生产总值约为 5138 亿元【点评】求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义一般地，如果某种量原来 是，每次以相同的增长率（或减少率）增长（或减少），经过次后的量便是（或）
