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1、1解析高考中圆锥曲线的最值问题解析高考中圆锥曲线的最值问题单位：沁阳一中姓名：赵炜电话：135138172272解析高考中圆锥曲线的最值问题摘要 本文主要以 2007 年各省高考题为载体，从几何与代数两个角度阐述了圆锥曲线最值问题的求解策略。几何法注重圆锥曲线定义与平面几何知识的结合，代数法从三角函数、二次函数、均值不等式三方面解析了圆锥曲线的最值问题。关键词 圆锥曲线 最值 几何法 代数法历年来，高考数学都要考查圆锥曲线中的最值问题。此类问题是解析几何综合问题 的重要内容之一，它融解析几何知识、函数、不等式等知识为一体，综合性强，且对于 解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成
2、为了数学高考中的难关。 但其解法仍然有章可循，有法可依。本文将介绍求解圆锥曲线最值问题的常用方法。 解答此类问题一般有两种方法：几何法：若题目条件和结论能明显体现几何特征 及意义，则考虑用图形性质、 ；圆锥曲线定义等简洁求解 代数法：就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题根据目标函数的特点可 利用三角函数有界性、二次函数区间上的值域、均值不等式及函数的单调性等方法求最 值要特别注意自变量的取值范围。一：几何法例 1. 已知椭圆内有一点 A（2，1） ，F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，xy2225161求的最大值与最小值。PAPF解：如图 1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）F由
3、椭圆的第一定义得：PFPF10PFPFPAPFPAPFPAPF101010可知，当 P 为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，AFPAPFAF 2当 P 为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。F APAPF AF2故的最大值为，最小值为。PAPF102102求解策略：利用椭圆第一定义转化为平面内到两定点距离的最值问题。3例 2. 定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上ddb a 22x ay bab222210()移动，求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最短距离。l解：设 F 为椭圆的右焦点，如图 3，作于 A，BB 于 B，MM 于 MAAlll图 3则MMAABBAFeBF
4、eeAFBFABed e 21 21 222当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。故 M 到椭圆右准线的最短距离为.d e2说明：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是 AB 能过焦点的22b adb a22充要条件。 求解策略：从椭圆的第二定义出发，再将问题转化为平几中的问题：三角形两边之 和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。是解决此类问题的常见思路。例 3 （ 06 年江西卷）P 是双曲线的右支上一点，M、N 分别是圆（x5）22 1916xy2y24 和（x5）2y21 上的点，则|PM|PN|的最大值为（ ）A. 6 B.7 C.8 D.9 解：设双曲线的两个焦点分别是 F
5、1（5，0）与 F2（5，0） ，则这两点正好是两圆的 圆心当且仅当点 P 与 M、F1三点共线以及 P 与 N、F2三点共线时所求的值最大，此时 |PM|PN|（|PF1|+2）（|PF2|1）=故选 D12| 3639PFPF 求解策略：先将点到圆上点的距离转化为点到圆心的距离，再利用双曲线的第一定义。例 4. （07 辽宁理 20）已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中OAB22yx为坐标原点，设圆 C 是 OAB 的内接圆（点 C 为圆心）O（I）求圆 C 的方程；（II）设圆的方程为，过圆 M 上任意一点 P 分别作圆M22(47cos )(7cos )1xyC 的两条切线 PE、
6、PF，切点为 E、F，求的最大值和最小值CE CFuuu ruuu r4解：（I）设两点坐标分别为，由题设知AB，11( ,)x y22(,)xy2222 1122xyxy又因为，可得即2 112yx2 222yx22 112222xxxx1212()(2)0xxxx由，可知，故两点关于 x 轴对称，所以圆心 C 在 x 轴上10x 20x 12xx,A B设 C 点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，( ,0)rA33,22rr 233222rr4r 所以圆的方程为C22(4)16xy（II）解：设，则2ECFa2| |cos216cos232cos16CE CFCECFuuu r uuu
7、ruuu ruuu rg在中，由圆的几何性质得Rt PCE4cos|x PCPC，| | 17PCMC 18 | | 17 16PCMC 所以，由此可得12cos231689CE CF uuu ruuu r则的最大值为，最小值为CE CFuuu ruuu r16 98小结：利用圆锥曲线定义，并结合平面几何相关定理，常使最值问题变得轻松，简 洁。二：代数法(一)三角函数法例 1（05 福建）设的最小值是bababa则, 62,22RABC3D2233527解法一：利用椭圆的参数方程，化归为三角最值问题， 22,26,6cos ,26sin ,32cossin3sinarctan23,3a bab
8、abab R选 C；解法二：利用截距的几何意义，数形结合构建椭圆相切，借助判2226,ababm别式为 0 得，选 C；3 , 3m小结：注意参数方程的灵活运用，解题时恰当地引入参数，将复杂的代数运算转化 为简单的三角运算，并提供进一步利用函数性质的可能性。 5（二）二次函数法例 1.（07 四川理 20） ）设、分别是椭圆的左、右焦点.1F2F2 214xy（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;P12PFPFuuu vuuu v（）设过定点的直线 与椭圆交于不同的两点 A、B，且为锐角（其中 O(0,2)MlAOB为坐标原点） ，求直线 的斜率 k 的取值范围.l解：（）解法一：易
9、知2,1,3abc所以，设，则 123,0 ,3,0FF,P x y 22 123,3,3PF PFxyxyxy uuu r uuu u r2 221133844xxx 因为，故当，即点 P 为椭圆短轴端点时，有最小值2,2x 0x 12PFPFuuu ruuu u r 2当，即点 P 为椭圆长轴端点时，有最大值2x 12PFPFuuu ruuu u r1（）略例 2、 （07 湖北理 19）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线xOy(0, )Cp（）相交于两点22xpy0p ,A B（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；NCOANB （II）是否存在垂直于 y 轴的直线 ，
10、使得 被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若llAC 存在，求出 的方程；若不存在，说明理由l（）解法 1：依题意，点 N 的坐标为，可设，(0,)Np1122( ,), (,)A x yB xy直线的方程为，与联立得消去 y 得ABykxp22xpy22xpyykxp22220xpkxp由韦达定理得，122xxpk2 122x xp 于是12122ABNBCNACNSSSp xx2 121212()4p xxpxxx x，222224822pp kppk当 k=0 时，2 min()2 2ABNSp解法 2：前同解法 1，再由弦长公式得2222222 12121211()4148ABkxxkx
11、xx xkp kpNOACByx6yO 1A2B2A1B.M1F0F2Fx.，22212pkk又由点到直线的距离公式得 221pd k 从而，2222211221222221ABNpSd ABpkkpk k 当时，0k 2 min()2 2ABNSp（）略例 3（07 上海文 21）我们把由半椭圆 与半椭圆 22221xy ab(0)x 22221yx bc合成的曲线称作“果圆” ，其中， (0)x 222abc0a 0bc如图，设点，是相应椭圆的焦点，和，是“果圆” 与 x，y 轴0F1F2F1A2A1B2B的交点，M 是线段的中点12A A（1）若是边长为 1 的等边三角形，求该012F
12、FF“果圆”的方程； （2）设是“果圆”的半椭圆P22221yx bc上任意一点求证：当取得最小值时，()x0PM在点或处；P12,B B1A（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点 P 的横坐标PPM解：（1） ，Q2222 012( , 0),0,0,F cFbcFbc，22222 02121,21F FbccbFFbc于是，222237,44cabc所求“果圆”方程为， 2241()7xyx02241()3yxx0（2）设，则( ,)P x y， 2 22|2acPMxy22 22 2()1(),04bacxac xbcxc7， 的最小值只能在或处取到2210b cQ2|PM0x
13、xc 即当取得最小值时，P 在点或处 PM12,B B1A（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半12| |AMMAQ1B2B22221(0)xyxab椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆22221(0)yxxbcP上的情形即可 22221(0)xyxab2 22|2acPMxy222222 2 222()()() 244caacacaacxbacc当，即时，的最小值在时取到，22() 2aacxac2ac2|PM22() 2aacxc此时 P 的横坐标是 22() 2aac c当，即时，由于在时是递减的，的最小值在22() 2aacxac2ac2|PMxa2|PM时取到，此
14、时 P 的横坐标是 a xa综上所述，若，当取得最小值时，点 P 的横坐标是；若，2ac|PM22() 2aac c2ac当取得最小值时，点 P 的横坐标是 a 或 |PMc小结：函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常 见的有二次函数，三角函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不容忽视。上 述三例解题过程均是将圆锥曲线最值转化为讨论二次函数在区间上的最值，此时应注意 其定义域是否受题设条件限制，是否需要分类讨论。（三）：均值不等式例 1、 （07 陕西文 22）已知椭圆 C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端2222xy ab6 3点到右焦点的距离为.3()求椭圆 C 的方程;()设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为，求AOB 面积3 2的最大值.8解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意c6 33c aa ，所求椭圆方程为1
