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1、 正余弦定理及其应用正余弦定理及其应用主讲：主讲： 姚翠玲姚翠玲上节课内容掌握情况验收上节课内容掌握情况验收 考纲要求考纲要求1.理解正弦定理、余弦定理； 2.能初步用正弦定理、余弦定理斜三角形 命题规律命题规律正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系 转化为角的关系或边的关系。在近年高考中成为命题热点。用正弦定理、余弦定理求三角形的边、角、判断三角 形形状及三角形面积的计算；解三角形除了要正确运用好正弦定理、余弦定理、面积公式及已知三角函数关系式 外，对隐含的很多条件，如三角函数的定义、三角形的内角和、诱导公式、勾股定理等，都要综合考虑，
2、这样才 能有效地解决问题上次课作业验收上次课作业验收1、(2012 上海理)在中，若，则的形状是（ ）ABCCBA222sinsinsinABCA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定2若ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且222abcbc，则角A 的大小为 新课新课： 正余弦定理及其应用考点考点 1 1 正弦定理正弦定理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：a sin Ab sin Bc sin C(1)abc(2)a ，b ，c (3)sin A ，sin B ，sin C 考点考点 2 2 余弦定理在中a2 ，b2 ，ABCc2 余弦定
3、理可以变形为：cos A，cos B ，cos C .考点考点 3 3 内角和定理内角和定理面积公式: SABCabsin Cbcsin Aacsin B1 21 21 2在中，；ABC ABCsin()ABsinCcos()ABcosC在三角形中大边对大角，反之亦然.111sinsinsin222ABCSabCbcAacB考点考点 1 1 正弦定理的应用正弦定理的应用典例 1 已知在中，解三角形.ABC10c 45A o30C o解题思路 先将已知条件表示在示意图形上（如图） ，可以确定先用正弦定理求出边，a然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.Bb解题过程 解：， sinsina
4、c ACQ，sin10 sin4510 2sinsin30cAaCoo ，180()105BACoo又，sinsinbc BCsin10 sin1056220sin75205 65 2sinsin304cBbCo o o易错点拨 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.变式 1 在中，已知，求、.ABC075B 060C 5c aA变式 2 在中，已知，求ABCsin:sin:sin1:2:3ABC : :a b c典例 2 在，求：和，3,60 ,1ABCbBco中，a
5、AC解题思路 先将已知条件表示在示意图形上（如图） ，可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出C 角，最后用正弦定理求出边.Aa解题过程 解：由正弦定理得：，sinsinbc BC，sin1 sin601sin23cBCbo， ， bc60B oCB即为锐角， ，60C oC30C o90A o222abc易错点拨 1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确C0sinsin(180)CC确定角的范围，再求出角.CC 3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.变式 1 在中, , 求和；ABC20a
6、210b 45A oBc解， 10 2 sin45sinoa B1sin2B ， 或0180Bo30B o150B o当时，；30B o105C o) 13(10c当时，（舍去） 。150B o195180ABoo考点考点 2 2 余弦定理的应用余弦定理的应用典例 1 已知中，、，求中的最大角。ABC3AB 37BC 4AC ABC解题思路 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解题过程 解：三边中最大，其所对角最大，37BC BCA根据余弦定理：，22222234( 37)1cos22 3 42ABACBCAAB AC g ， 故中的最大角是.0180Aoo120A oABC1
7、20A o易错点拨 中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦ABC定理；用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.变式 1 在中，若，求角.ABC222abcbcA考点考点 3 3 正弦定理和余弦定理的综合应用 典例 1 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为，c已知cosA-2cosC2c-a=cosBbab（I）求sin sinC A的值；（II）若 cosB=1 4，ABC 的周长为 5，求的长。b解题思路 通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。解题过程 解:（I）由正弦定理得：,sinsinsinabckABC所以cos2cos2sinsin.cos
8、sinACCA BB即，(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB化简可得sin()2sin().ABBC又，所以，因此ABCsin2sinCAsin2.sinC A（II）由，得 由余弦定得及，得sin2sinC A2 .ca1cos4B 22222222cos 1444 4.bacacBaaaa所以 又 从而因此 b=2。2 .ba5,abc1,a 易错点拨 关键是“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边” 。变式 在中，已知角所对的三边长分别为，若， ，求ABC, ,A B C, ,a b c2a 2 2b 62c 角和AsinC综合突破综合突破判断三角形的形状判断三角
9、形的形状典例 1 在ABC 中，在中，分别是角 A、B、C 所对的边，bcosAcosB，ABCa,b,ca试判断三角形的形状。.ABC解题思路 判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常 是运用正弦定理。 解题过程 方法 1：利用余弦定理将角化为边.bcosAcosB a22222222bcaacbbabcac 222222bcaacb22abab故此三角形是等腰三角形.方法 2：利用正弦定理将边转化为角.bcosAcosB 又 b2RsinB，2RsinAaa2RsinBcosA2R
10、sinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）0 0A，B，ABAB0，即 AB 故三角形是等腰三角形. 易错点拨 判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角 的一些变形公式.。总结：本堂课学生学到的知识，学生自我总结。总结：本堂课学生学到的知识，学生自我总结。课后作业课后作业1在ABC中，A60，B75，a10，则c等于( )A5 B10 22C. D510 6362在ABC中，若，则B的值为( )sin A acos B bA30 B45 C60 D903(2011郑州联考)在ABC中，a，b1，c2，则A等于( )3A30 B45 C60 D754在ABC中，a3，b2，cos C ，则ABC的面积为( )231 3A3 B2 C4 D.33335已知ABC三边满足a2b2c2ab，则此三角形的最大内角为_3
