《复变函数第五章留数（习题五）解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数第五章留数（习题五）解答（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章第五章 留数留数习题习题（ （习题习题五）解答五）解答试求下列各解析函数或多值函数的解析分支在指定点的留数：（），在； （），在，为整数；222(1)z z zi 1 1ze2zn in（），在，其中（或） ；（），在1z z1z 1111 1sin1z 1z 解 （）易知是的二阶极点，所以zi 222(1)z z ，22 22 222232Res(, )lim()lim() lim(1)(1)()4zizizizzziziizizzzizi 22 22 222232Res(,)lim()lim() lim(1)(1)()4zizizizzziziizizzzizi（）因为的一阶零点，从
2、而为的一阶极点（单极点） ，所以2zn i1ze1 1ze 22111Res(,2)limlim11(1)zzzzn izn in ieee （）显然为的一阶极点（单极点） ，所以，1z 1z z当取满足的解析分支时，z11， 11Res(,1)lim(1)lim1111zzzzzzzz 当取满足的解析分支时，z11 11Res(,1)lim(1)lim1111zzzzzzzz （）易知为的本性奇点，且在内1z 1sin1z 01z 213 0111111sin( 1)1(21)! (1)13! (1)n n nznzzz L其中的系数为 ，所以，1 1z 11Ressin,111z函数的各解
3、析分支在各有怎样的孤立奇点？求它们在这些点的留数2Ln 1z z 1z 解 的支点为和，取原点及负虚轴为支割线，并取在取值为的分支为主值支，Lnz01z 0 记为，则的任意解析分支为ln zLnz，Ln ln2kzzk i0, 1, 2,k L显然为的每一个解析分支的孤立奇点，且当时，是1z 2Ln 1z z 21Ln 1kzz 0k 1z 的可去奇点，而是的一阶极点；当时，0221lnLn 11zzzz1z 0221lnLn 11zzzz0k 是的一阶极点，所以，当时，1z 21Ln 1kzz 0k ，2lnRes,101z z221lnlnln( 1)1Res, 1lim(1)111 12
4、zzzzizz 当时，0k ，221112ResLn ,1lim(1)Ln 111 1kkzk izzzk izz 221112ResLn , 1lim(1)Ln ()111 12kkzk izzzk izz 注意注意：其中，其中割破平面内从 到的不穿过割线的简ln( 1)ln1argCizi C11单曲线 思考思考：若取原点及正虚轴为支割线，则结论应如何变化？计算下列积分：（），其中是；2d(1)(2)CzzzzC122z （），其中是；22d(9)zCezzz C1z （），其中是（） tand Cz zCzn1,2,3,n L解 （）显然函数在复平面上仅有两个孤立奇点和，并且仅有2(1)
5、(2)z zz1z 2z ，是的二阶极点，从而1222zz2z 2(1)(2)z zz2 22222221Reslim(2)limlim1(1)(2)(1)(2)1(1)zzzzzzzzzzzzzz 由留数定理222d2Res2(1)(2)(1)(2)Czzzziizzzz （）显然函数在单位圆内仅有一个孤立奇点且为二阶极点，从而22(9)ze zz 1z 0z 2 2 22222220000(29)1Reslimlimlim(9)(9)9(9)9zzzzzzzzeeeezzzzzzzzz 由留数定理222202d2Res(9)(9)9zzCzeeizizzzz （）显然函数在复平面上的孤立奇
6、点为，且都sintancoszzz2kzk0, 1, 2,k L是一阶极点，sinsinsin1RestanRescos(cos)sinkkkkz zz zz zz zzzzzzzz 又仅当和时，为正整数，所以，, 2, 1kn L0,1,2,1knL2kzkznn由留数定理111tand2Restan2()4knnCz zknknz zizin i 设函数在区域内解析，表示圆周( )f z0rz C（） zr00rr我们把积分 1( )d2Cf zzi定义为函数在无穷远点的留数，记作，在这里积分中的表示积分是沿着按( )f zRes( ,)f CC顺时针方向取的试证明：如果表示在1( )f
7、z0rz 的洛朗展式中的系数，那么1 z1Res( ,)f 证明 因函数在区域内解析，由洛朗（Laurent）定理，在圆环形区域( )f z0rz ( )f z内可展成洛朗级数0rz ( )n n nf zz再逐项积分，并注意到，可得0,11d1,12nCnzzni 1111Res( ,)( )ddd222nn nnCCCnnff zzzzzziii 试求下列函数在无穷远点的留数：（）； （）； （）1 z1 ze51 (1)(3)zz解 （）由第题，易得1Res( ,)1z （）因在内，其中的系数为 ，由第题得0z 1011 !z n nenz1 z11 Res(,)1ze （） （方法方法
8、）因为在内解析，且在内51 (1)(3)zz3z 3z 5665 00 51111113() ()13(1)(3)11nnn nnzzzzzz zz不难观察出，上式展开后最低的负幂次项为，不含有这样的项，即这样的项的系数为，所61 z1 z0以，由第题得51Res(,)0(1)(3)zz （方法方法） 利用公式计算211Res( ,)Res( ),0)fftt 记，因，显然它以51( )(1)(3)f zzz422551111( )11(1)(1 3 )(1)(3)tfttttt tt为可去奇点，所以0t 211Res( ,)Res( ),0)0fftt 试把关于留数的基本定理 1.1 转移到
9、是扩充复平面上含无穷远点区域情形D设区域是一条简单闭曲线或有限条互不相交且其内部也互不相交的简单闭曲线（记为）DC的外部（称为扩充平面上含无穷远点的区域） ，若函数在内除去有有限个孤立奇点，( )f zD1z，外，在每一点都解析，并且可连续到上，则2zLnz( )f zC1( )d2Res( )Res( )knCz zzkf zzif zf z （注意：此命注意：此命题题和下面的第和下面的第题题可可统统称称为为推广的留数定理推广的留数定理）证明 如图示，取以原点为心，充分大的正数为半径的圆周，使得及，都RRC1z2zLnz含于的内部，由关于留数的基本定理 1.1，R1( )d( )d( )d2
10、Res( )RRknCCz zkf zzf zzf zzif z 又由第题的定义，11Res( )( )d( )d22RRzf zf zzf zzii 代入上式得1( )d2Res( )Res( )knCz zzkf zzif zf z 证明：如果在扩充复平面上除了有限个奇点外，在每一点解析，那么这函数在所有奇点( )f z上的留数（包括在无穷远点的留数）之和是零 用此结果计算积分5211d2(1)(3)zzizz证明 由题设，显然函数在复平面上的奇点都是孤立的，记为，( )f z1z2zLnz（方法：利用第方法：利用第题题）如图示，可取简单闭曲线，使得，都位于的外部，从C1z2zLnzC而在
11、及的内部是解析的由第题，并注意到第章的柯西定理，( )f zCC10( )d2Res( )Res( )knCz zzkf zzif zf z 即1Res( )Res( )0knz zzkf zf z （方法：利用第方法：利用第题题的的证证明方法明方法）取以原点为心，充分大的正数为半径的圆周，使得，RR1z，都包含于的内部，由关于留数的基本定理 1.1，2zLnzR1( )d2Res( )Rknz zkf zzif z 又由第题的定义，11Res( )( )d( )d22RRzf zf zzf zzii 代入上式即得， 1Res( )Res( )0knz zzkf zf z 下面，我们再用两种方
12、法计算积分：5211d2(1)(3)zzizz（方法：利用第方法：利用第题题）显然函数在圆周的外部仅有一个有限孤立奇点，51 (1)(3)zz2z 3z 且为一阶极点，5553331111Reslim(3)lim(1)(3)(1)(3)1242zzzzzzzzz于是由第题（）及第题555231111dResRes2(1)(3)(1)(3)(1)(3) 110242242zzzzizzzzzz （方法：利用第方法：利用第题题）显然函数在复平面上只有有限的奇点51 (1)(3)zz，和21 5kkze 0,1,2,3,4k 3z 由第题，455530111ResResRes0(1)(3)(1)(3
13、)(1)(3)kz zzzkzzzzzz又上述奇点中仅有，由留数定理 1.1，21 52kkzez 0,1,2,3,4k 45520111dRes2(1)(3)(1)(3)kzz zkzizzzz所以555231111dResRes2(1)(3)(1)(3)(1)(3) 1 242zzzzizzzzzz 求下列各积分：（）；（），其中；2220d(1)xxx2201d1 2 cosaa01a（），其中；（）；（）；2 201dsina 0a 20sind1xxxx20sind(1)xxx x（）；（），其中；220lnd(1)xxx120d1xxx02（），其中；提示：从顶点为， 0daxaxxxeexee aR，（）的矩形中分别挖去以为心的上半圆盘和以为心的下半圆，R2Ri2Ri0R 02i考虑沿这个区域边界的积分azzze ee（）；提示：从顶点为，（）的矩形中 0dxxxxee
