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1、第 1 页，共 6 页1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（ A ） 。A.允许决策模型 B.状态转移模型 C.马氏链模型 D.多步决策模型4、 “公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（ D ） 。A.参照惯例的席位分配结果是较合理的 B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果C. 席位分配一类问题的 Q 值法是较公平的 D.存在满足四个公平分配公理的分配方法10、 “层次分析模型”中成比对矩阵 如果满足如下（ D ）式，则称为一致阵。)(ijaAA、 B、 C、 D、0ijajiija11nij ikjia二、填空题（2 分/空10 空=20 分）1、 “商人怎样安全过河”模型中
2、状态随决策变化的规律是 。kkds)1(12、 “公平的席位分配”模型中的 Q 值法计算公式是 。)(2iinp7、 “传染病模型”中 SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。三、问答题（40 分）1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10)答：（1）建模过程：模型准备模型假设模型构成模型求解模型检验模型应用。（2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性；2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价 50 元/个，椅子销售价格 30 元/ 个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子
3、需要木工 4 小时，油漆工 2 小时。生产一个椅子需要木工 3 小时，油漆工 1 小时。该厂每个月可用木工工时为 120 小时，油漆工工时为 50 小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10)解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量 4 分（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2（3）确定约束条件：4x1+3x250（油漆工工时限制）（4）建立的数学模型为：max S=50x1+30x2s.t. 4x1+3x250x1, x2 03、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时
4、间如下表所示，问第 2 页，共 6 页应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10)解：令 0,1ij ijx指 派 第 人 完 成 第 项 工 作不 指 折 派 第 项 工 作目标函数： 123142124334min58986767Zxxxx约束条件： 123142132344.xxst4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10)答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 ；（2）能力：想象力、洞察力 。1.某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证
5、券的收益按 50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进 400 万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过 1.4（信用等级数字越小，信用程度越高） ；（3）所购进证券的平均到期年限不超过 5 年。证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益（%）A 市政 2 9 4.3B 代办机构 2 15 5.4C 政府 1 4 5.0D 政府 1 3 4.4E 市政 5 2 4.5若该经理有 1000 万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。解：设 分别表示购买证卷 A,B,C,D,E 的金额（万元），则到期后的净收益为12345,xx2345ma0.70.
6、20.zxx约束条件为；（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进 400 万元，即234x（2）所购证券的平均信用等级不超过 1.4，即123451.xx（3）所购进证券的平均到期年限不超过 5 年。 1234592xx(4)投资总额为 1000 万第 3 页，共 6 页1234510xx整理得到（以百万为单位）： 123452341 512345ma0.7.02.66.0,10izxxxstxx三、 （传染病模型） （25 分）模型一：假设（1）每个病人每天传染的人数为常数 ；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；记 表示时刻 t 的病人人数，求 所满足的微分方程，求()it
7、()it出 并对进行讨论（ ） 。()it 0模型二：用 分别表示在 t 时刻传染病人数和健康人数， 。假设(1)每个病人在单位时间its、 0()i内传染的人数与健康人数成正比，比例系数为 ；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；（3）总人数不变， ；求 t 时刻传染病人数 ，并对模型及 进行讨论。()itsiNt()it解：模型一：由假设在时间 内，增加的病人人数为 ，于是得到微分方程为t()()ititt0()ditit解得 。()tite讨论：上述函数说明传染病的传播是按指数函数增加的；这个结果与传染病的初期是比较吻合的，传播速度比较快；但当 ， ，这显然不符合实际情况。
8、i()it模型二：由假设在时间 内，增加的病人人数为 ，于是得到微分方程：t()()(ititst0()()()dititsstiN模型求解：原方程变为，利用分离变量法得到， 或 ，0()()dititit ()dittN()ditdtN，111()()ditcNi第 4 页，共 6 页或 11ln()l()itNittc化简得到 ，其中 ，由初始条件 得tCeit1cNe0()i，故0icN0()11tNNtit ei讨论：首先由 知，当 时， 达到最大值，由()()dititt()2t()dit，推出 达到最大值的时刻为 ，0()21Ntitei()dit 10lnmNti这时病人人数增加
9、最快，预示着传染病高潮的到来；第二， 与 、N 成反比，既总人数和传染强度增mt加时，传染病高峰来的越快。同时，如果知道了传染强度 （可由统计数据给出） ，总人数 N，则可以预报传染病高峰到来的时间，对于防治传染病是有益处的；第三，模型的缺点是当 ， ，t()it既所有的人将要生病，这与实际不符。主要原因是模型假设没有考虑病人会被治愈，病人也可能死亡等情况。四、 （共 20 分）学生毕业后选择工作，有两个衡量准则：工资水平和个人发展。现有三个待选单位： 。假设相321,A对于总目标选择工作 C，准则 “工资水平 ”和“个人发展 ” 的权重为 ，相对1c2c21, Tw5.00于准则“工资水平
10、”，方案 的判断距阵为 ，相对于准则“个人发展 ”，1c321,A/52c方案 的判断距阵为 ，试用和法求方案 对总目标的权重。321,A153/B321,A答：中各列归一化 12/5A 8/17/225/54/10C1c2cA23A第 5 页，共 6 页各行求和 再归一化 = 6 分385.07.1128.0759.1w中各列归一化 /1/B3.0.27.369.5.6求各行平均值 = 6 分0.261.32w所以三个方案 对总目标的权重为：21,A3 分120.59.260.4.5(,)7119.8.3.8Ww故三个待选单位 的排名为 1，3，2。321,A1、 “商人怎样安全过河”模型中
11、，从初始状态到终止状态中的每一步决策（D ） 。A.称之为状态 B.记为 sk=(xk, yk) C.是集合 S 中的元素 D.都是集合 D 中的元素8、 “传染病模型”中所未涉及的模型是（B ） 。A、SI 模型 B、 SIS 模型 C、SID 模型 D、SIR 模型1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（ A ） 。A.允许决策模型 B.状态转移模型 C.马氏链模型 D.多步决策模型4、 “公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（ D ） 。A.参照惯例的席位分配结果是较合理的 B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果C. 席位分配一类问题的 Q 值法是较公平的 D.存在满足四个
12、公平分配公理的分配方法8、 “经济增长模型”中，要保持总产值 增长，即要求（ C ） 。)(tA、 B、 C、 D、0dt 0dt0dtQ0LQ10、 “层次分析模型”中成比对矩阵 如果满足如下（ D ）式，则称为一致阵。)(ijaAA、 B、 C、 D、ijajiija11nij ikjia二、填空题（2 分/空10 空=20 分）1、 “商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是 。kkds)1(12、 “公平的席位分配”模型中的 Q 值法计算公式是 。)(2iinp第 6 页，共 6 页7、 “传染病模型”中 SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。三、问答题（4
13、0 分）1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10)答：（1）建模过程：模型准备模型假设模型构成模型求解模型检验模型应用。（2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性；3、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10)解：令 0,1ij ijx指 派 第 人 完 成 第 项 工 作不 指 折 派 第 项 工 作目标函数： 123142124334min58986767Zxxxx约束条件： 123142132344.xxst4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10)答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 ；（2）能力：想象力、洞察力 。
