建筑工程投标报价数学模型探讨

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1、建筑工程投标报价数学模型探讨孙洪涛（深圳市天健 （集团） 股份有限公司， 广东 深圳518034）f()的一种近似值。 1.2.2 分布函数的检验 利用上述频率直方图求解 分布函数 F ()， 只是一种粗略 求法， 对分布函数 F ()的分布 类型有必要进行检验。如果我 们收集的偏移量 的数据足 够多(样本容量 n 足够大)， 则不 论 F ()是什么分布， 当上述所 求分布函数正确时， 统计量摘要:本文探讨了建立综合评估法评标办法条件下最优报价 数学模型， 根据数理统计基本原理， 建立了采用频率直方图求解 竞争对手投标报价偏移量分布函数的方法，并运用皮尔生 X2 检 验方法验证了所选取的分布

2、函数的可靠性。 关键词： 建筑工程投标报价模型随着我国社会主义市场经济的发展，建筑市场愈加规范化， 施工单位 （承包商） 通过参加工程投标承接工程已成为成为主要 途径。 而在工程投标过程中投标报价是核心， 报价过高， 可能因为 超出 “最高限价” 而丢失中标机会； 报价过低， 则可能因为低于 “合 理低价” 而废标； 或者即使中标， 也可能会给企业带来亏本的风 险。 因此投标单位应针对每项工程的实际情况， 凭借自己的实力， 并合理适当地运用投标报价数学模型来争取达到中标的目的， 从 而给企业带来较好的经济效益。这正是本文研究的意义所在。 1 建立投标报价数学模型1.1 建立投标报价数学模型的基

3、本思路 建筑工程投标报价与评标办法密切相关， 综合评估法是目前 较常用的一种评标办法， 这里讨论的最优报价为评标中投标报价 得分最高的报价。综合评估法的评标办法是以基准价为评判指 标， 承包商报价等于基准价时， 报价得分为满分， 否则， 就会按相 应折减方法扣分。基准价 A0 的计算方法为：图 1 偏移量频率直方图2k+1 x =! (mi - npi )2 npii = 1 总是近似的服从自由度为 k- r 的 x2 分布， 即：k+12(mi - npi )22x =!x (k- r),(i=1,2,.k+1)。（6）npi = 1i 其中 r 是偏移量 分布函数中被估计的参数个数； k

4、是用来 划分区间的分点个数， mi 是样本值落在第 i 个小区间上的个数， 即频数； pi 是样本值落在第 i 个小区间上的概率。 检验时未知参数采用极大似然估计值。 当被检验函数为正态 分布时：=X“= 1 (x +x +x +.+x +x ), n123n- 1nA0=(A1+A2+An)/n（无标底价时） +An)/n （有标底价时）（1） （2）mA0= 30%B+70%(A1+A2+S = 1 !(- X“) n- 1 S22=#（7）n- 1 i = 1n式中 A1、 A2、 A3、An 为进入算术平均的投标报价； n 为进 入算术平均的投标报价的个数； B 为招标人的标底价格。依

5、据此方法可对所求的 F ()进行检验。 1.3 竞争对手报价的综合评判 依据上述偏移量 的分析可得到某竞争对手的报价偏移量 的分布函数，利用这种方法同样可以得到所有竞争对手报价 偏移量 i(i=1， 2， 3， ,n- 1)的分布函数。由于实际投标中投标人 的投标报价受多方面因素影响， 有了偏移量分布模型， 并不能精 确的预测竞争对手报价偏移量为某一具体数值， 但可根据分布模 型确定偏移量落在某一区间的可能性。现将偏移量 i 划分为 5 个区间， 对应将报价分为低价、 较低价、 正常价、 较高价、 高价 5 种 情况， 即： 低价， 较低价， 正常价， 较高价， 高价对应于： i- x2， -

6、 x2i - x1， - x1i x1， x1i x2， x2i ， x1， x2 的取值可根据 具体项目情况和投标人因素而确定， 且 0x1x2。 因此， 投标人的投标报价为一模糊概念， 依据模糊数学综合 评判的原理，可以对所有竞争对手的报价情况进行综合评判， 故 建立综合评判模型如下：若令 A1、 A2、 A3、An- 1 为竞争对手进入算术平均的投标报 价， An 为本承包商的报价， 如果承包商的投标报价 An= 基准价 A0 时， 投标报价指标得分最高， 即为最优报价 A+， 因此将 An= 基准价 代入式(5- 1)便可得到： A+=(A1+A2+An- 1)/(n- 1) （无标底

7、价时）（3） （4） An- 1 和 BA+=0.3Bn+0.7(A1+A2+An- 1)/(n- 1（) 有标底价时） 故最优报价 A+ 与竞争对手的报价 A1、 A2、 A3、 之间存在一定的函数关系， 即： A+=f(A1， A2， A3，An- 1， B)。（5） 如果能求出各个竞争对手投标报价的分布函数， 并把有标底 价时的招标人作为一竞争对手考虑， 则可得出 A+ 的分布函数， 从 而帮助承包商作出投标报价决策。 1.2 报价偏移量分布模型 在投标人自身条件不变的情况下， 两投标人之间的投标报价 Ai， An 之 间 呈 现 一 定 关 系 。 令 两 投 标 人 报 价 的 偏

8、移 量 为 (=Ai- An， i=1， 2， 3， n- 1)， 则偏移量 的分布为某一分布函数 F()。 依据统计学原理和方法， 在一定条件下， 可以求解出分布函 数 F()。 1.2.1 求解分布函数 设 F()是总体 的理论分布函数， Fn()是样本分布函数， 则当样本容量 n 很大时， Fn()非常接近 F()， 也就说明可以通过 收集大量相关 数据， 用样本分布函数 Fn()来推断 F ()。 对容量为 n(n 足够大)的样本分布函数 Fn()的求解采用频率 直方图法。令极值报价偏移量为 max， min， a 略小于 min， b 略大于 max， m 为组数， 组距 h=(b-

9、 a)/m， fi 为频率， 频率直方图 如图 1 所示 从频率直方图得到的光滑曲线 fn()， 即为总体 概率密度设因素集 U=u1， u2， u3， ， un- 1= A1、 A2、 A3、An- 1为竞争 对手投标报价的集合， 评判集 V=v1， v2， v3， ， vn- 1=低价， 较低 价， 正常价， 较高价， 高价， 对应的$r 11r12r13r14r15(& &rrrrr& 21&22232425&)&R=&r（8）%rrrr&3132333435&rrrrr&* n- 1,1 n- 1,2n- 1,3 n- 1,4n- 1,5 其中： ri1， ri2， ri3， ri4，

10、 ri5(I=1， 2， 3， ， n- 1)分别表示竞争对手报价 为低价、 较低价、 正常价、 较高价、 高价的隶属度， 用相应的概率表 示。 由于在同一个投标项目中各投标人所处地位相等，所以 U161表 1 投标报价偏移量 （ 104）图 2 频率直方图表 2 频率组距表表 3 X2 检验数据表甘肃科技纵横2006 年(第 35 卷)第 5 期建筑设计上的权数分配 F 集 A=(a1， a2， a3， ， an-1)=(1/(n-1)， 1/(n-1)， 1/(n-1)，60601#( -$ ) = 1 #(-7+17.26)22S2=491/ (n-1)， A 与评判矩阵 R 的合成即为

11、各竞争对手投标报价的 综合评判， 设综合评判向量为 B， 则149I = 1I = 122+(-5+17.26) +(55-17.26) =2097.75,B=AR（9）n-1“=S=在式 （9)的基础上， 按最大隶属度原则即可确定竞争对手综 合报价情况是报低价， 较低价， 正常价， 较高价或高价。 1.4 最优报价的决策及其前提 首先， 报价偏移量模型建立在大量历史数据的基础上， 模型 的精确度与所收集的数据数量、 合理性、 准确性密切相关， 这就要 求投标单位在平时的工程投标中应大量收集竞争对手的报价数 据， 并不断更新数据， 以保证数据资源的可统计性、 实时性和准确 性。 其次， 本文所

12、述的最优报价方法以静态数据为依据， 而在实际 投标中影响投标人报价策略的因素较多， 在利用上述最优报价方 法时， 投标人应确认没有使竞争对手报价策略发生重大变化的因 素出现。n50-1 “ 50 “2097.75 =45.3409. 用 t1=-67.5， t2= -37. 5， t3= -7.5,t4=22.5 将区间 -97.5， 52.5 分成五个区 间， 分点 k=4。 若 H： XN （-17. 26， 45.34092） 为真， 将有关参数代入式(4)得：2k+1(m -np )22=#iix .npi工程实例应用深圳市某施工单位甲参与某经济适用房小区投标， 经过资格 预审与另一家

13、承包单位乙分到了 1 标段，根据甲单位经营部门 统计的历年来本单位及乙单位的投标报价数据， 决定采用投标报 价偏移量分布模型确定投标报价策略。 2. 1 求取试验数据 甲单位近年来与竞争对手乙单位的投标报价偏移量 的调2i = 1 据 F(x)=(x-u)/ 有 F(ti)=(ti+17.26)/ 45.3409， 可计算 出 F(t1)=0.1339； F(t2)=0.3728； F(t3)=0.5852； F(t4)=0.8098。 再利用 pi= F(ti)- F(ti-1)算出 pi， 将有关数据列于表 3 所示。 令 a=0.05， 查 X2 分布表的临界值 20.05(2)=5.9

14、91， 因为 0=3.2110765.991， 所以偏移量 服从正态分布f(! )=exp-“2 22(-) /(2 )， 即：N （-17.26,45.34092） 。查结果汇总如表 1：2.4 投标报价的综合评判 结合上述得到的偏移量分布函数，在综合评判模型中可取 x1=15， x2=45。令服从上述偏移量分布函数的竞争对手为 a， 其偏 移量为 a， 则 N （-17.26,45.34092） 。 查标准正态分布表可得： F(-45)=0.272， F(-15)=0.520， F(15)=0. 760， F(45)=0.913。 因此 ra1= F(-45)=0.272， ra2= F(

15、-15)- F(-45)=0.248， ra3= F(15)- F(-15) =0.240， ra4= F(45)- F(15)=0.153， ra5=1- F(45)=0.087。 同理， 对任一竞争对手 I， 有了报价偏移量分布函数， 便可求 出对应的 rij，（i=1， 2， 3， ， n-1； j=1， 2， ， 5） 。 3结语企业在市场竞争中除了靠自身的素质和实力外，投标技能、 技巧对于能否中标、能否获得更高利润有着举足轻重的作用， 是 企业在竞争中立于不败之地的重要手段之一。 随着大力推行工程 量清单法招标， 在未来的招投标活动中， 工程量清单将被广泛使 用。基于这样的发展趋势， 承包商应该着重研究国内外通用的工 程量计算规则并加强对市场的研究，以确定符合市场要求的、 合 理的分项单价和取费标准。并结合单价合同执行过程中， 按照实 际完成工程量结算的特点， 采用适当的投标策略和技巧， 运用辅 助数学模型， 从而提高企业的中标率， 保证合理的利润和在建筑 承包市场中的竞争地位。 参考文献： 【1】叶东文， 马占福.招标投标法律实务.北京： 中国建筑工业出版社， 2003. 【2】何灿芝， 应用统计， 长沙： 湖南科学技术出版社， 1996. 【3】杨纶标，高英仪， 模糊数学 (第三版). 广州：华南理工大