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1、第六章 多 元 函 数 微 分 学,(一) 本 章 内 容 小 结,(二) 常见问题分类及解法,(三) 思 考 题,(四) 课 堂 练 习,(一) 本章内容小结,一、主要内容,1、空间解析几何简介,2、矢量的概念，线性运算及坐标表示，两向量的数量积与 向量积。,3、平面的点法式与一般式方程，直线的标准式与一般式方 程，曲面与空间曲线，常见的二次曲面。,4、多元函数的概念，二元函数的极限与连续。,5、偏导数与全微分。,6、多元复合函数与隐函数的求导法。,7、多元函数的极值、最大值和最小值。,二、对学习的建议,本章的第二节和第三节是空间解析几何较深入的内容，学时较少的专业可以不学或选学，而对有些专
2、业，如计算机专业，建筑工程专业，应该是必修的内容，为了配合本章内容的学习，特提出如下建议，供读者参考。,1、直线、平面方程是用坐标法与向量相结合的方法建立起来的。学习空间解析几何不仅要熟悉以上图形，更应深入理解采用数、形结合及运用向量研究空间图形的基本思想和方法。,2、学习空间解析几何部分，应注意对空间图形想像力的培养，这也是学习多元函数微分的需要。球面、柱面、锥面及旋转曲面都比较重要，读者能够根据它们的方程辨认，并画出它,们的图形。,3、多元函数微分学与一元函数微分学是相对应的，学习这一部分内容，应注意用对比的方法，先回顾一下一元函数的有关内容对理解和掌握多元函数相应的内容是有帮助的。,4、
3、偏导数与复合函数的求导法则是本章的重点，读者务必理解偏导数的概念及几何意义，并通过较多的练习，熟练、灵活的掌握连锁法则，确保求导的正确性。,5、求解最值问题是多元函数微分学的重要应用，应给予足够的重视。在实际问题求解中，关键是建立函数关系式和约束条件关系式。建立函数关系式的能力，可通过一些习题来加强。若求出驻点是惟一的，而最值又存在，则该驻点的函数值,三、本章关键词,就是最值。因此求最值的应用问题，实际上就是求函数的驻点。,空间解析几何,矢量,曲面与曲线,偏导数,全微分,多元复合函数求导,多元函数极值,(二) 常见问题分类及解法,一、求二元函数定义域的方法,解,图6-1 例1函数定义域,二、求
4、二元函数偏导数的方法,1、利用一元函数求导法，只要记住对一个变量求导时，把另一个变量暂时看作常量就行。,解,2、二元复合函数求偏导数可引入中间变量，一般抽象的函数求偏导数也要引入中间变量。,解,注：因函数解析式明显给出，也可直接求偏导。,解,3、求隐函数的导数或偏导数。,一般有如下三种方法：,解,解, 求出函数的二阶偏导数., 就每一个驻点考察 B2-AC 的正负，判定极值点. 若有极值，再根据 A (或 C ) 的正负判断其为极大还是极小值，进而讨论极值与最值., 若是应用问题，需根据题目条件首先写出取极值的目标函数，求出驻点，若驻点惟一，最值又存在，则此点即为所求，不需验证，依题意，指出驻
5、点处为最大或最小值即可.,三、求二元函数的极值与最值的方法,1、基本步骤, 求出函数的一阶偏导数，解出驻点.,解,解,于是，生产第一种商品5单位，第二种商品3单位时利润最大。(此题在求出驻点后，也可根据步骤，直接得出结果!),2、若是条件极值问题，利用拉格朗日乘数法,其关键在于根据问题写出要求极值的目标函数与条件函数。构造出拉格朗日函数，求出驻点。之后，根据问题的实际性，定出极大值或极小值。,解,(三)思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,(四)课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,返 回,2、是根据问题写出要求极值的目标函数和条件函数,然后 构造函数求驻点,根据问题的实际性,求出极值.,返 回,3、正确.,返 回,4、偏导数存在且连续是函数可微的充分条件，而偏导数存在 是函数可微的必要条件.,返 回,返 回,返 回,返 回,
