1数论问题数论问题——余数余数一、带余除法的定义及性质 一般地，如果 a 是整数，b 是整数(b≠0)，若有 a÷b＝q……r，也就是 a＝b×q＋r0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式 这里： ⑴当 r＝0 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商 ⑵当 r≠0 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 二、余数定理： 1．余数一定要比除数小 2．余数的加法定理 例如：23÷5＝4……3 16÷5＝3……1 所以 23＋16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3＋1 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数 例如：23÷5＝4……3 19÷5＝3……4 所以：23＋19＝4242÷5 的余数等于 3＋4＝7 除以 5 的余数，即 2 和的余数＝余数的和(的余数) 3．余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a，b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数例如：23÷5＝4……3 16÷5＝3……1 所以 23×16 除以 5 的余数等于 3×1＝3。
例如：23÷5＝4……3 19÷5＝3……4 所以 23×19 除以 5 的余数等于 3×4 除以 5 的余数，即 2 积的余数＝余数的积(的余数)例例 1有两个自然数相除，商是 17，余数是 13，已知被除数、除数、商与余数之和为 2113，则被除数是多 少？2例例 2一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数 是_________例例 322003与 20032的和除以 7 的余数是________例例 412＋22＋32＋…＋20012＋20022除以 7 的余数是多少？例例 5在 1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7，则将这几个数归为一组这样 的数组共有______组例例 6六名小学生分别带着 14 元、17 元、18 元、21 元、26 元、37 元钱，一起到新华书店购买《成语大词 典》 一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、 戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本这种《成语大词典》的定价是________元。
3测试题1．两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是多少？2．一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数3．求 478×296×351 除以 17 的余数4．商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一 个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克5．除以 41 的余数是多少？199677777714 2 43 个6．六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数，甲取 3 张，乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的 2 倍，则丙手中卡片上的数 是_______答案1．．答案：因为被除数减去 8 后是除数的 4 倍，所以根据和倍问题可知，除数 ，所以，被除数为 794154884179（）（）2.答案：因为一个两位数除以 13 的商是 6，所以这个两位数一定大于 13×6＝78，并且小于 13×(6＋1) ＝91；又因为这个两位数除以 11 余 6，而 78 除以 11 余 1，这个两位数为 78＋5＝83。
43.答案：余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以 17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数 478， 296，351 除以 17 的余数分别为 2，7 和 11，(2×7×11)÷17＝9……14.答案：两个顾客买的货物重量是 3 的倍数剩下(151618192031)(12)119339...2的一箱货物重量除以 3 应当余 2，只能是 20 千克5.答案：找规律：，，，，7417□774136□7774139□77774128□，……，所以 77777 是 41 的倍数，而，所以可77777410□199653991L199677777714 2 43 个以分成 399 段 77777 和 1 个 7 组成，那么它除以 41 的余数为 76.答案：根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍”可知，甲、乙手中五 卡上的数之和应是 3 的倍数计算这六个数的总和是 1193＋1258＋1842＋1866＋1912＋2494＝10565，10565 除以 3 余 2；因为甲、乙二人手中五 张卡上的数之和是 3 的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以 3 余 2。
六个数中只有 1193 除以 3 余 2，故丙手中卡片上的数为 1193。