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1、第六章 柱形杆问题（注释）（）柱形杆问题的边值问题圣维南问题的描述特征zyxfz，zyxf，yzyxfz，即时有描述不易求解静力等效四种问题： 1.简单拉伸2.纯弯曲3.扭转4.横力弯曲三种边界条件 等效三种力和三个弯矩yzxzMR1 dAkjidAnRzyzxz10n即 xzxzzzklrMzyxzljidAyxMlxzzzyy在 处 lz dAxMzy(6.2)yxxzzz在 处 0zdAlyzzxlPyyxzxMzzydAxz(6.2)yxzzz侧面自由 (6.1)0jizn0yzxzyyn问题和方程的性质详见王敏中、武际可弹性力学引论P102-P144。() 关于柱形杆的纯扭转问题位移
2、法：注意位移的变形模式(6.17)yxwzvu，这一变形模式来源于对圆截面变形模式的理解刚性转动，没有翘曲 （6.14）0zxvu以下是常数的问题位移解法，归纳为 02边界条件 侧面yxnny底面 0zyxR0yxM(6.23)dAMzzz应力解法：假设 其余应力分量为零。0xzyz应力解法归纳为 B-M 方程得出应力函数 F(x,y)满足： yFxzxz(6.30)GyxF22，边界条件，侧向 单连通域 F= 0 复连通域 F = C(常数)只可以有一个0S围道为零。单连通域dxyMz2(6.36)2,1iiACF在推导的过程中要注意 的表达式，这是很关键的。yxn， dSyxncos dx
3、ynsi应力解法简便处在于知道杆截面的形状可以构造应力函数 F关于 问题 P118 页0tD02 dxyyxGt 证明： yx2dxyxyxdy 22 22xI 221由 得出yGzx xyGyz实质是 所做的应变能。dxIyzx221 yzx， d22这是应用 xyxy02 这是应用边界条件（侧面）0dSnyxnyxy则 yGIDt 221显然 0t若 t xyy122xyx，显然不可能，因而：， 0tD（）关于函数的性质及薄壁结构的扭转；普朗特应力函数 的两个性质是解决薄壁结构的理论基础性质 1：截面内任意处的总剪应力 的指向该点处应力函数等法线的切线方向，其大小等于 的梯度，即 沿内法线
4、方向的导数值 的等法线为剪应力迹线nSzs0性质 2：应力函数 的闭合等值线上剪应力积分和等值线所包围的面积成正比LAGdS2其中 为迹线 L 所包围的面积。A*性质 2 表现为位移的单值性。第六章习题6-1 用位移法导出圆轴扭转的剪应力和扭角公式。解： 对于圆截面杆 0wzxvyu cossinrxzvywryuzxz si0Grzxzxyzyx rxzyzSzzn incosincodrA440320321GardrdAMaaz取 则 (公式 6.15)421aJJztzDM6-2 若柱体扭转时横截面上应力为 ，证明该柱体截面是圆。xGyzxz ，解： 采用位移解法(1)xyGyxyzxz
5、 在侧面边界上满足： (2)0zxzn将（1）与圆截面应力对照，得出 即在截面边界上 =常数。y将题设应力代入边界条件（2）(3)0yxn注意 dSxy则在侧面边界 y即该柱体截面是圆。常 数2x6-3 半径为 a 的圆截面杆两端作用扭矩 。试写出此杆的应力函数，并求出剪应力分量，zM最大剪应力及位移分量。解： 本题是椭圆截面杆的特例 a=b，则1122ayxmarF由 可得 G2G421aGmMz则 4aMz（第一题）rzS420n最大剪应力发生在 r=a 处： 3max2MzS可以求出位移分量为： 0wvzyu6-4 函数2232741axyayxm能否作为图 6-4 所示正三角形截面杆的
6、扭转应力函数？若能，写出其应力分量和位移分量。解： BC 的方程为： 即ax320x；031axy3ay则 AB 方程为： ax32AC 方程为： y则 可以满足在边界上 。axyxaxm31232* 0S2232* 32322*2* 74174194axyayxmaxyxa即 是满足边界条件的扭转应力函数。代入 G2Gmxa246142 21即找出 使应力函数满足基本方程，因而可以作为扭转应力函数Gm212232741axyayx*实际上如取下面的坐标更为简单： y3315 274312432132223aGdxyaxyayxdxyMaaz 则 (1)4Mz 42315aMGmz(2) xw
7、yxzuaxyamyzxz 3153264(3)yGxzyvGxaMamzyz 24 22315 3aMzxyyu zz 44315则 axyGyyGaxMwz33154则 (4)fw12由（3）2222233yaxGyaxGyy 则 (5)fw232注意到 （4）= （5）(6)xfayf231则 02xff31即(7)yxGaMyxawz235233216-5 证明翘曲函数xyab2能用来求解椭圆杆 的扭转问题，并且扭矩为 12yax23baGM解： 取翘曲函数为： xyab2显然 满足扭转的基本方程。02yxGxz xyGyz则 abxz2(1)yabGyG22(2)xxabyz 22对
8、于椭圆截面杆侧面方程为：012yxf，取 2af2byf22dyfxf则 2xnd2侧面要满足 (3)0yzxzn将（1） 、 （2 ）代入（3 ）222byxaxabdGnyzxz042y即所取的翘曲函数满足侧面边界条件。 (4)0sin20102 abdrabGdARxzx co20102yzy dAxMxzyz 22cosrax dxyaxbaG222 22sinrby320132322 baGdbGr 6-6 试比较边长为 a 的正方形截面杆与面积相等的圆截面杆，承受同样大小扭矩的作用时产生的最大剪应力及抗扭刚度。解： 正方形截面面积为 ，则与其面积相等的圆截面的半径为 2 aR，2圆
9、杆： (1)44411aRJ最大剪应力在边界处 (2)42GaD 33max2aMRGtt对于矩形杆，满足 的应力函数应该为 但在域内不能使 0S22y，因而采用级数解法：常 数2对于正方形截面杆查表有 时 (3)43GaMabtt1b41.0查表有 时 （4）3121maxtbat .注意到： （5）ttD44GaMttt 1:28.0:159.:2:21:4Ga正圆 正圆 D（6） :.: 1313maxax tt正圆 正圆 maxax6-7 边长为 a 的正方形截面杆承受扭转，坐标如图 6-7 所示，扭转为 。ABCD 为与横截zM面成 角的斜截面，E，F 分别为 AD 及 AB 的中点
10、。已知在扭矩 作用下，正方形横截4 z面各边中点的剪应力为3208.aMz求斜截面 ABCD 上 E 点 F 点处的正应力与剪应力。解 1： 考察平面 ABCD 的法线： 20n在 F 点，应力状态为： ，其余为零。zy则： 020n022 Tn 22 nn n在 E 点只有剪切应力，没有正应力。在 E 点： 其余为零xz 200n 202n2 nn即在 F 点只有正应力 ，没有剪应力。第六章的第 6-8 到 6-12 为薄壁结构的扭转问题，在这方面有很多不同的著作，对于飞行器结构、船体结构的学生应多讲一点这方面的基础知识，而对于固体力学的学生（力学） ，可以由学时的安排不讲这部分的内容，而适当的提及一下即可。关于薄壁结构的理论，可以归纳如下：注意：狭长矩形杆ba() 应力函数在 x 方向不变化，即 0x() yF由 和 ，可取函数为 G20S 2ybGF可得出以下结论： yabMzx360xzy (a：长度，b：为狭长边 )GaM32mxaby313abGD这是开口薄壁结构计算的基础，对于各种等效情况薄壁杆的总刚度等于各部分刚度之和。其中 和 是第 i 部分的中心线长度和截面厚度。3itaii扭角相等 3ittGMD第 i 部分的最大剪应力为：iiia3闭口薄壁管：二连域杆：是中
