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1、平面向量平面向量 本章主要包含三个方面的内容本章主要包含三个方面的内容:1 向量的概念向量的概念;2 向量的运算向量的运算;3 向量的运用向量的运用 向量的概念主要包含表示法、共线向量的充要条件和平面向量的基本定理。向量的概念主要包含表示法、共线向量的充要条件和平面向量的基本定理。 向量的运算主要是向量的加减法、实数与向量的积及向量的数量积。向量的运算主要是向量的加减法、实数与向量的积及向量的数量积。 向量的运用的话主要是线段的定比分点、平移化简函数式、正弦余弦定理的运用及向量在物理和几何学向量的运用的话主要是线段的定比分点、平移化简函数式、正弦余弦定理的运用及向量在物理和几何学 中的运用。中
2、的运用。 1 向量的基本概念向量的基本概念 定义（二要素） 、向量的模； 零向量：向量的模为 0； 单位向量：向量的模为单位 1；平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行.向量、平0rarbrcr行，记作.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.arbrcr相等向量：方向、大小都相等的向量； 相反向量：方向相反、大小相等的向量；2.向量的表示方法：向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、等表示；平面向量的坐标表示：分别取与轴、arbrx轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一yirjrar对实数、，使得，叫做向量的（直
3、角）坐标，记作，其中叫做在xyarxiyjrr),(yxa( , )ax yrxa轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，。xyayir(1,0)jr(0,1)0(0,0)r；若，则，22axyr),(11yxA),(22yxB1212,yyxxAB22 2121()()ABxxyy3 向量的运算向量的运算 3.1 向量的加法与减法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则+= + ； = + ()；arbrarbrarbrarbr3.2 平面向量的坐标运算：若，则，11( ,)ax yr22(,)bxyrabrr),(2121yyxxabrr，。),(2121yyxx(,)axyr3.3 向量加
4、法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)a bbaa bcabc4实数与向量的积：实数 与向量的积是一个向量，记作：arar（1）|=|；（2）0 时 与方向相同；0 时 与方向相反；=0 时 =；ararararararar0（3）运算定律 ()=()，(+)=+，(+)=+ararararararbrarbr5 向量共线定理 向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有有且只有一个非零实数 ，brar使=。brar6平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，1e2ear有且只有一对实数 1，2使=1+2。(1)不共线向量
5、、叫做表示这一平面内所有向量的ar1e2e1e2e一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分ar1e2e解；(4)基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，唯一确定的数量。ar1e2e7. 向量和的数量积：=| |cos，其中0，为和的夹角。|cos称为ababababb在的方向上的投影。的几何意义是：的长度|在的方向上的投影的乘积，是一个实数baabbba（可正、可负、也可是零） ，而不是向量。若 =（，）, =（x2，）, 则a1x1yb2y2121yyxxbarr运算律：a a b b=b ba a, (a a) b b=a a(b b)=
6、（a ab b） ， （a a+b b）c c=a ac c+b bc c。和的夹角公式：cos=aba babrr rr2 22 22 12 12121 yxyxyyxx|2=x2+y2，或|=2aaarrraa222ayx|abab| | a a |b|b | |。8 8两向量平行、垂直的充要条件 设 =（，）, =（，）a1x1yb2x2ya ab ba ab b=0 ，=+=0； baabrr1x2x1y2y（）充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使=。ba/ar0brar0/1221yxyxba向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。9.9.点 P 分有向线段所成的比的
7、： ，P 内分线段时, ; P 外分线段21PP21PPPP21PP0时, . 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式： 21PP0、 112121yyyxxx 1 222121yyyxxx )3,3(321321yyyxxx例题讲解例题讲解 1 关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： 若 abac，则 bc.若 a(1，k)，b(2,6)，ab，则 k3. 非零向量a a和b b满足|a a|b b|a ab b|，则a a与a ab b的夹角为 60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)2设向量 a 与 b 的夹角为 ，a(2,1)，a3b(5,4)，则 sin_.10
8、103 设 P、Q 为ABC 内的两点，且，则ABP 的面积与ABQ 的面积之AP25AB15ACAQ23AB14AC比为_ _ 454 已知 a(cos2，sin)，b(1,2sin1)，( ，)，ab ，求 cos( )的值22545 已知向量 a(sinx，1)，b(cosx， )32 (1)当 ab 时，求 cos2x3sin2x 的值； (2)求 f(x)(ab)b 的最小正周期和单调递增区间 6 已知向量 a(sin，1)，b(1，cos),0.(1)若 ab，求 ；(2)求|ab|的最大值 7 若 a，b 是两个不共线的非零向量，tR.(1)若 a，b 起点相同，t 为何值时，a
9、，tb， (ab)三向量的终点在一直线上？13 (2)若|a|b|，且 a 与 b 夹角为 60，t 为何值时，|atb|的值最小？ 高考典型例题高考典型例题例 1、 （2007 上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形xOyijrr，xy，中，若，则的可能值个数是（ ）ABCjkiACjiABrrrr3,2k1 2 3 4例 2、 （2007 陕西）如图，平面内有三个向量、,其中与与OAuu u r OBOCOAuu u r OB的夹角为 120，与的夹角为 30,且OAuu u r OC|1，OAuu u r OB| ，若+（，R）,OC32OCOAuu u r OB
10、则+的值为 . 例 3、(2008 湖北文、理)设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=（ ） A.(15,12) B.0 C.3 D.11例 4、(2008 广东文)已知平面向量，且，则=（ ）), 2(),2 , 1 (mbaabba32 A （-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）例 5、(2008 海南、宁夏文)已知平面向量=（1，3） ，=（4，2） ，与垂直，则是（ ar br abrrar ） A. 1 B. 1C. 2D. 2 例 6、(2008 广东理)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于
11、点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F. 若, ,则（ ）aAC bBD AFAB. C. D. 11 42abrr21 33abrr11 24abrr12 33abrr例 7、 （2008 江苏）已知向量和的夹角为，则 arbr0120| 1,| 3abrr|5|abrr例 8、(2008 湖南理)设 D、E、F 分别是ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且2,DCBDuuu ruuu r2,CEEAuuu ruu u r则与( )2,AFFBuuu ruu u rADBECFuuu ruuu ruuu rBCuuu rA.反向平行 B.同向平行 C.互相垂
12、直 D.既不平行也不垂直例 9、 （2008 深圳福田等）已知向量 ,函数( 3sin ,cos ),(cos ,cos )axxbxxrr( )21f xa b r r(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值( )f x, 62x( )1,f x x例 10、 （2007 山东文）在中，角的对边分别为ABCABC，tan3 7abcC ，（1）求；（2）若，且，求cosC5 2CB CAuu u ruu u r 9abc例 11、 （2008 广东六校联考）已知向量(cosx，sinx)，()，且 x0，ar 23 23bv2sin2cosxx，2（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。bavvbaxfvv)(bavv)(xfx例 12、如图在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以 A 为中点，问与的夹角取何PQBC值时， 的值最大？并求出这个最大值。 BPCQOxACBa例 12 图yACBaQP
