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1、第 1 页 共 80 页第三章 导数及其应用第 1 讲 导数的概念与运算对应学生用书P36考点梳理1函数 yf(x)在 xx0处的导数(1)定义：设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当 x 无限趋近于 0 时，比值无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 xx0yxfx0xfx0x处可导，并称常数 A 为函数 f(x)在点 xx0处的导数，记作 f(x0)可表示为“当 x0 时，A” fx0xfx0x(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是过曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)的切线的斜率2函数 f(x)的导函数若 f(x)对于区间(a
2、，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数该函数称为 f(x)的导函数，记作f(x)3基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)Cf(x)_0_f(x)x( 为常数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_a第 2 页 共 80 页f(x)exf(x)_ex_f(x)logax(a0，a1)f(x)1xln af(x)ln xf(x) 1x4.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x
3、)；(3)(g(x)0)fxgxfxgxfxgxgx25复合函数的导数若 yf(u)，uaxb，则 yxyuux，即 yxyua.【助学微博】一个命题规律本讲知识是高考中的常考内容，尤其是导数的几何意义及导数的四则运算，更是高考考查的重点以填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问中导数的运算及复合函数的导数一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜率为 kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线 yf(x)过
4、点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条考点自测1(2012济南模拟)曲线 f(x)x2(x2)1 在点(1，f(1)处的切线方程为_第 3 页 共 80 页解析 f(1)0，f(x)3x24x，f(1)1，所以切线方程为 y(x1)，即 xy10.答案 xy102(2012泰州市高三期末考试)设 A 为奇函数 f(x)x3xa(a 为常数)图象上一点，曲线 f(x)在 A 处的切线平行于直线 y4x，则 A 点的坐标为_解析 设 A(x0，y0)，则由 f(0)0，得 a0，所以 f(x)x3x，f(x)3x21，于是由 4
5、f(x0)3x 1，得 x 1，所以 x01，所以2 02 0A(1，2)或 A(1,2)答案 (1，2)或(1,2)3(2012江苏泰州二模)若存在过点(1,0)的直线与曲线 yx3和yax2x9 都相切，则 a_.154解析 设过点(1,0)的直线与 yx3相切于点(x0，x )，则切线方程为 yx 3x3 03 0(xx0)，由它过点(1,0)，得 x00 或 x0 .当 x00 时，由直线 y0 与2 032yax2x9 相切，可得 a；当 x0 时，由直线 y x与154256432274274yax2 x9 相切，可得 a1.154答案 1 或25644(2012泰州学情调查)已知
6、点 P 在曲线 y上， 为曲线在点 P 处的切4ex1线的倾斜角，则 的取值范围是_解析 y1，所以 tan 1，即1tan 4exex124ex1ex20.又 0，所以.34第 4 页 共 80 页答案 34，)5(2012南京模拟)若直线 ykx3 与曲线 y2ln x 相切，则实数k_.解析 由 y2ln x，得 y .设 ykx3 与曲线 y2ln x 相切于点(x0，y0)2x(x00)，则有 k，y0kx031，y02ln x0，所以 x0e ，k22x0122x0.e答案 2e对应学生用书P37考向一 导数的运算【例 1】 (2013泉州月考)求下列函数的导数：(1)yexln
7、x；(2)yx；(x21x1x3)(3)yxsin cos ；x2x2(4)y(1)；x(1x1)(5)y.xx5sin xx2解 (1)y(exln x)exln xex ex.1x(ln x1x)(2)yx31，y3x2.1x22x3(3)先使用三角公式进行化简，得yxsin cos x sin x，x2x212第 5 页 共 80 页yx (sin x)1 cos x.(x12sin x)1212(4)先化简，y1x x ，x1xx1x1212y x x .1212123212 x(11x)(5)yx x3，x12x5sin xx232sin xx2y(x3)(x2sin x)(x32)
8、 x 3x22x3sin xx2cos x.3252方法总结 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒定变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量【训练 1】 求下列函数的导数(1)y(x1)(x2)(x3)；(2)ysin ；x2(2cos2x41)(3)ytan x；(4)yxln x；(5)y.1ex1ex解 (1)因为 y(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，所以 y3x212x11.(
9、2)因为 ysin sin cos sin x，所以 y (sin x)x2(2cos2x41)x2x212(12sin x)12第 6 页 共 80 页 cos x.12(3)因为 ytan x，sin xcos x所以 y.(sin xcos x)cos2 xsin2 xcos2 x1cos2 x(4)因为 yx ln x，所以 y(xln x)ln xx ln x1.1x(5)因为 y1，1ex1ex21ex所以 y(21ex1)(21ex)2ex1ex2考向二 求复合函数的导数【例 2】 求下列复合函数的导数(1)yxe12x；(2)y；ln23xx(3)y；113x4(4)y(1si
10、n x)2；(5)yx.1x2解 (1)因为 yxe12x，所以 y(xe12x)e12x(12x)xe12x(12x)e12x.(2)因为 y，ln23xx所以 y23x123xxln23xx2第 7 页 共 80 页.323xxln23xx2(3)设 u13x，yu4.则 yyuux4u5(3).1213x5(4)设 u1sin x，则 y(1sin x)2，由 yu2与 u1sin x 复合而成yyuux2ucos x2(1sin x)cos x.(5)y(x)xx().1x21x21x21x2x21x212x21x2方法总结 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这
11、类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程【训练 2】 求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin22x；x21(3)yexsin 2x；(4)yln.1x2解 (1)y2x.12 x21xx21(2)y(2sin 2x)(cos 2x)22sin 4x.(3)y(ex)sin 2xex(cos 2x)2ex(2cos 2xsin 2x)(4)y2x.11x212 1x2x1x2考向三 导数的几何意义及综合应用【例 3】 (1)设 f(x)xln x1，若 f(x0)2，则 f(x)在点(x0，y0
12、)处的切线方程为_(2)(2012淮安市第四次调研)已知曲线 y(a3)x3ln x 存在垂直于 y 轴切线，第 8 页 共 80 页函数 f(x)x3ax23x1 在1,2上单调递增，则 a 的取值范围是_解析 (1)f(x)ln x1，又 f(x0)2，ln x012.解得 x0e，y0e1.故 f(x)在点(e，e1)处的切线方程为 y(e1)2(xe)，即 2xye10.(2)由题意，可得 y3(a3)x2 (x0)，1x即 3(a3)x310 有正实根，所以 a30)在点(1,0)处1x的切线方程为 yx1，画出可行域如图所示，则当直线 x2yz 经过点A(0，1)时，zmax02(
13、1)2.答案 24(2012安徽卷)设函数 f(x)aexb(a0)1aex(1)求 f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y x，求 a，b 的值32解 (1)f(x)aex，当 f(x)0，即 xln a 时，f(x)在(ln a，)上1aex递增，当 f(x)0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而 f(x)在0，)上的最小值为 f(ln a)2b；若 a1，则ln a0，f(x)在0，)上递增，从而 f(x)在0，)上的最小值为 f(0)a b.1a(2)依题意，得 f(2)ae2 ，1ae232解得 ae22 或 ae2 (不合题意，舍去)12所以 a，代入原函数，得 2 b3，即 b .2e21212故 a，b .2e212第 12 页 共 80 页对应学生用书P267分层训练 A 级 基础达标演练(时间：30 分钟 满分：60 分)一、填空题(每小题 5 分，共 30 分)1已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0)等于_解析 f(x)2x2f(1)，所以 f(1)22f(1)，即 f(1)2，f(x)2x4，故 f(0)4.答案 42(2012扬州检测)已知直线 axby20 与曲线 yx3在点 P(1,1)处的切线互相垂直，则 为_ab解析 y
