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1、排列组合例题讲解 1例 1某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒 ，则不同的选购方式共有( )(A) 5 种(B) 6 种 (C) 7 种(D) 8 种解法一 记购买的软件数为 x，磁盘数为 y，依题意当 x3 时，y2，3，4；当 x4 时，y2，3；当x5 时，y2；当 x6 时，y2.上述的不等式组共有 7组解，故不同的选购方式共有 7 种，选 C解法二 依题意，(x，y)是在坐标平面上，位于三条直线L1：x3，L2：y2，L3：60x70y=500 围成的三角形的边界及内部的点(
2、坐标均为整数的点)，如图 721，这样的点共有 7 个，故选 C评述 这是一个计数的应用问题，解法一转化为求不等式组的整数解的个数；解法二转化求坐标平面上特定区域内的整点个数事实上，两种解法最终都采用了穷举法这是解决计数问题的基本方法之一例 2在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植一垄,为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的种植方法共有多少种？解法一 如表格所示，用表示种植作物的地垄， 表示未种植作物的地垄，则不同的选垄方法共有 6 种，由于 A、B 是两种作物，故不同的种植方法共有 12 种解法二 选垄方法可分为三类
3、：第一类间隔为 6 垄，有 18，29，310 三种选法；第二类间隔为 7 垄，有 19，210两种选法；第三类间隔为 8 垄，只有 110x,yZ x3,y2 60x70y500种选法，故选垄方法共 6 种，种植方法共 12 种评述 这是一个计数的应用问题，解法一采用了画框图的方法；解法二直接应用加法原理和乘法原理若将例 1 和例 2 判定为排列与组合的问题，并布列含排列数或组合数的算式，反而会将对问题的思考复杂化，难以得出正确的结论，由此可见，不应把计数问题都简单归结为排列和组合的问题，也不能只通过计算排列数或组合数求解例 37 人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数(1)甲排中
4、间；(2)甲不排在两端；(3)甲、乙相邻；(4)甲在乙的左边(不一定相邻)；(5)甲、乙、丙两两不相邻解：(1)甲排中间，其余 6 人任意排列，故共有720 种不同排法6 6P(2)若甲排在左端或右端，各有种排法，故甲不排在两端共有3600 种不6 6P6 67 72PP 同排法(3)法一：先由甲与除乙以外的 5 人(共 6 人)任意排列，再将乙排在甲的左侧或右侧(相邻)，故共有1440 种不同排法6 6P1 2P法二：先将甲、乙合成为一个“元素” ，连同其余 5 人共 6 个“元素”任意排列，再由甲、乙交换位置，故共有1440 种不同排法6 6P1 2P(4)在 7 人排成一行形成的种排法中
5、， “甲左乙右”与“甲右乙左”的排法是一一对7 7P应的(其余各人位置不变)，故甲在乙的左边的不同排法共有2520 种不同解法7 721P(5)先由除甲、乙、丙以外的 4 人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空” ，再将甲、乙、丙插入其中的三个“空” ，每“空”1 人，故共有1440 种不同的排3 54 4PP 法评述 这是一组排队的应用问题，是一类典型的排列问题，附加的限制条件常是定位与限位，相邻与不相邻，左右或前后等例 4用 0，1，2，3，4，5 六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：(1)5 的倍数；(2)比 20300 大的数；(3)不含数字 0，且 1，2
6、 不相邻的数解：(1)5 的倍数可分为两类：个位数的位置上的数字是 0 或 5，个位数字是 0 的五位数有个；4 5P个位数字是 5 的五位数有 4个；3 4P故 5 的倍数共有4216 个4 5P3 4P(2)比 20300 大的五位数可分为三类：第一类：3，4，5；有 3个；4 5P第二类：21，23，24，25，有 4个；3 4P第三类：203，204，205，有 3个2 3P故比 20300 大的五位数共有 343474 个4 5P3 4P2 3P(3)组成不含数字 0，且 1，2 不相邻的数可分为两步，第一步：将 3，4，5 三个数字排成一行；第二步：将 1，2 插入第一步所形成四个
7、“空”中的两个“空” ，故共有72 个3 3P2 4P评述 这是一组组成无重复数字的多位数的排数问题，也是一类典型的排列问题，常见的附加条件是倍数关系，大小关系、相邻关系等应当注意的是排队问题不会有元素重复的问题，而排数问题必须规定无重复数字才是排列问题例 5 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同取法共有( )(A) 150 种(B) 147 种(C) 144 种(D) 141 种分析 取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点 共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四 点，再减去四面共点的取法解 在 10 个点中任取 4 点，有种取法，取出4 10C的
8、4 点共面有三类(如图 723)第一类：共四面体的某一个面，有 4种取法；4 6C第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面 ABE，有 6 种取法；第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面 EFGM，共有 3 个故取 4 个不共面的点的不同取法共有(463)141(种)4 10C4 6C因此选 D评述 由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，常见的附加条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等例 6 (1)设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒
9、内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，这样的投放方法的总数为 ；(2)四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 种解(1)第一步：投放 2 个球，使其编号与盒子编号相同，有种投法；第二步：投入2 5C其余 3 个球，以第一步的投法是 1，2 号球投入 1，2 号盒子内为例，其余 3 个球由于不能再出现球号与盒号相同的投法，如框图所示有 2 种投法345345综上可知，符合题意的投放方法共有220 种2 5C(2)第一步：取出两个小球(种取法)合成一个“元素” ，与另外两个球合成三个“元2 4C素” ；第二步：将 3 个元素放入 4 个盒中的 3 个盒子，每个盒子放一个元素，形成一个空盒(种放法)，故符合题意的放法共有144 种3 4P2 4C3 4P评述 这是一组具有一定综合性的计数问题，应当注意，第(1)题如果判定第二步余下3 球可任意放入余下 3 个盒子，列出的算式，就会出错2 5C3 3P
